Les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division
Les quatre opérations — addition, soustraction, multiplication, division — sont le socle de tout calcul. Cet article en revisite les principes.
L'addition
L'addition combine deux nombres en leur somme. Notée $a + b$.
- Commutative : $a + b = b + a$
- Associative : $(a + b) + c = a + (b + c)$
- Élément neutre : $a + 0 = a$
La soustraction
La soustraction retire un nombre d'un autre. Notée $a - b$.
Elle n'est ni commutative ($5 - 3 \ne 3 - 5$) ni associative. C'est l'opération inverse de l'addition.
La multiplication
La multiplication est une addition répétée : $3 \times 4 = 4 + 4 + 4$.
- Commutative : $a \times b = b \times a$
- Associative : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
- Élément neutre : $a \times 1 = a$
- Élément absorbant : $a \times 0 = 0$
- Distributive sur l'addition : $a(b + c) = ab + ac$
La division
La division est l'opération inverse de la multiplication. $a \div b$ cherche combien de fois $b$ « tient » dans $a$.
Elle n'est ni commutative ni associative. La division par zéro est impossible.
Pourquoi diviser par zéro est interdit ?
$a \div b = c$ signifie $a = b \times c$. Si $b = 0$, alors $a = 0 \times c = 0$ : aucune valeur de $c$ ne convient si $a \ne 0$, et toutes conviennent si $a = 0$. La division par zéro n'a pas de sens.
La division euclidienne
Pour les entiers, la division euclidienne donne un quotient et un reste : $17 = 5 \times 3 + 2$.
Quotient 3, reste 2 (inférieur au diviseur).
Les nombres négatifs
Règles des signes pour la multiplication et la division :
- $(+) \times (+) = (+)$
- $(-) \times (-) = (+)$
- $(+) \times (-) = (-)$
« Moins par moins donne plus. »
Les fractions
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ représente une division. Additionner des fractions demande un dénominateur commun ; les multiplier est direct (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux).
Les nombres décimaux
Les décimaux étendent les entiers avec une partie après la virgule. Les opérations s'y appliquent, en alignant les virgules pour l'addition.
Les puissances
Une puissance est une multiplication répétée : $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
La racine carrée
La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$.
Le pourcentage
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. $25\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$.
Les opérations réciproques
| Opération | Réciproque |
|---|---|
| Addition | Soustraction |
| Multiplication | Division |
| Puissance | Racine |
Conclusion
Les quatre opérations de base, leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité) et leurs réciproques fondent tout le calcul. Notre Calculatrice basique effectue ces opérations instantanément.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice basique — calcul instantané avec explication pas à pas.