Ordre des opérations : les règles de priorité
Pour calculer une expression contenant plusieurs opérations, il faut respecter un ordre précis : les règles de priorité. Source classique d'erreurs.
L'ordre des opérations
Les opérations s'effectuent dans cet ordre :
- Parenthèses
- Puissances et racines
- Multiplications et divisions (de gauche à droite)
- Additions et soustractions (de gauche à droite)
Le moyen mnémotechnique
« PEMDAS » : Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction.
La multiplication avant l'addition
$3 + 4 \times 5 = 3 + 20 = 23$ (et non $7 \times 5 = 35$).
La multiplication a priorité sur l'addition.
Les parenthèses changent tout
$(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35$. Les parenthèses forcent l'addition d'abord.
Les puissances en priorité
$2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$. La puissance avant l'addition.
$2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$. La puissance avant la multiplication.
De gauche à droite
Multiplication et division ont la MÊME priorité. On les effectue dans l'ordre, de gauche à droite.
$12 \div 3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (et non $12 \div 6 = 2$).
Addition et soustraction : aussi de gauche à droite
$10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9$ (et non $10 - 7 = 3$).
Les parenthèses imbriquées
On résout de l'intérieur vers l'extérieur.
$2 \times [5 + (3 - 1)] = 2 \times [5 + 2] = 2 \times 7 = 14$.
La barre de fraction
Une barre de fraction agit comme des parenthèses. On calcule le haut et le bas séparément, puis on divise.
$\dfrac{6 + 4}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$.
Le signe moins et les puissances
$-3^2 = -(3^2) = -9$. La puissance s'applique avant le signe.
Pour $(-3)^2 = 9$, il faut les parenthèses.
Exemple complet
$2 \times (3 + 4)^2 - 10 \div 5$
- Parenthèses : $3 + 4 = 7$ → $2 \times 7^2 - 10 \div 5$
- Puissance : $7^2 = 49$ → $2 \times 49 - 10 \div 5$
- Mult et div : $98 - 2$
- Soustraction : $96$
Les calculatrices et la priorité
Les calculatrices scientifiques respectent la priorité. Mais les calculatrices basiques calculent « au fil de l'eau » : $3 + 4 \times 5$ peut y donner 35 (faux). Toujours connaître son outil.
Les expressions ambiguës
Certaines expressions mal écrites prêtent à débat (comme $6 \div 2(1+2)$). La bonne pratique : ajouter des parenthèses pour lever toute ambiguïté.
Le rôle des parenthèses
En cas de doute, ajouter des parenthèses. Une expression sur-parenthésée est sans ambiguïté.
Pourquoi cet ordre ?
L'ordre des opérations n'est pas arbitraire : il découle de la structure des nombres. La multiplication étant une addition répétée, elle est « plus forte » et se fait d'abord.
Conclusion
Respecter l'ordre des opérations (parenthèses, puissances, mult/div, add/soustr) est indispensable pour calculer juste. En cas de doute, parenthéser. Notre Calculatrice basique respecte ces priorités.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice basique — calcul instantané avec explication pas à pas.