Logarithmes et exponentielle sur la calculatrice

Les logarithmes et l'exponentielle intimident souvent. Pourtant, ce sont des fonctions inverses simples à comprendre.

Le logarithme : combien de fois multiplier ?

Le logarithme en base 10 répond à la question : « par quelle puissance de 10 faut-il élever pour obtenir ce nombre ? ». $\log(1000) = 3$ car $10^3 = 1000$.

Le logarithme décimal

Noté log sur la calculatrice, c'est le logarithme en base 10. $\log(100) = 2$, $\log(10) = 1$, $\log(1) = 0$.

Le logarithme népérien

Noté ln, c'est le logarithme en base $e \approx 2{,}718$. Il intervient partout en analyse et en sciences.

Les propriétés du logarithme

• $\log(ab) = \log a + \log b$ (transforme le produit en somme)
• $\log(a/b) = \log a - \log b$
• $\log(a^n) = n \log a$

L'intérêt historique

Avant les calculatrices, les logarithmes servaient à multiplier de grands nombres en les additionnant. C'est le principe de la règle à calcul.

L'exponentielle

L'exponentielle e^x est la fonction inverse du logarithme népérien : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.

La croissance exponentielle

L'exponentielle modélise une croissance qui s'accélère : population, intérêts composés, propagation. Une petite variation de l'exposant change beaucoup le résultat.

Les puissances de 10

La touche 10^x est l'inverse du log : $10^{\log x} = x$.

Le changement de base

Pour un logarithme dans une base quelconque : $\log_b(x) = \dfrac{\ln x}{\ln b}$. Ainsi $\log_2(8) = \dfrac{\ln 8}{\ln 2} = 3$.

Les applications scientifiques

• Le pH en chimie : $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$
• Les décibels en acoustique
• L'échelle de Richter pour les séismes
• La désintégration radioactive

Les applications financières

Le logarithme sert à calculer une durée de placement : combien d'années pour doubler un capital à un taux donné.

Le domaine de définition

Le logarithme n'existe que pour les nombres strictement positifs. log(0) ou log(-5) donnent une erreur.

Vérifier ses calculs

$\log$ et $10^x$ s'annulent ; $\ln$ et $e^x$ aussi. Enchaîner les deux doit redonner le nombre de départ : un bon test.

Conclusion

Logarithmes et exponentielle sont des fonctions inverses, omniprésentes en sciences et en finance. Les manipuler sur une calculatrice scientifique devient simple une fois le principe compris. Utilisez notre Calculatrice scientifique.