Division de polynômes : 15 exercices types corrigés

La maîtrise de la division de polynômes passe par la pratique. Voici une série d'exercices types entièrement corrigés.

Exercice 1 : division simple

Diviser $x^2 + 5x + 6$ par $x + 2$.

Corrigé :

• $x^2 \div x = x$ ; $x(x+2) = x^2 + 2x$ ; reste $3x + 6$
• $3x \div x = 3$ ; $3(x+2) = 3x + 6$ ; reste $0$

Quotient : $x + 3$. Reste : 0. Division exacte.

Exercice 2 : avec reste

Diviser $x^2 + 1$ par $x - 1$.

Corrigé : Quotient $x + 1$, reste $2$. ($x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2$.)

Exercice 3 : degré 3

Diviser $x^3 - 1$ par $x - 1$.

Corrigé : Quotient $x^2 + x + 1$, reste 0. (Identité $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$.)

Exercice 4 : théorème du reste

Quel est le reste de la division de $P(x) = x^3 - 2x + 5$ par $(x - 2)$ ?

Corrigé : Reste $= P(2) = 8 - 4 + 5 = 9$.

Exercice 5 : tester une racine

$(x + 3)$ divise-t-il $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ ?

Corrigé : Tester $P(-3) = -27 + 18 + 15 - 6 = 0$. Oui, $(x + 3)$ divise $P$.

Exercice 6 : schéma de Horner

Diviser $x^3 - 3x^2 + 2x - 5$ par $(x - 2)$ avec Horner.

Corrigé : Coefficients 1, −3, 2, −5, avec $a = 2$.

• Descendre 1 ; $1 \times 2 - 3 = -1$ ; $-1 \times 2 + 2 = 0$ ; $0 \times 2 - 5 = -5$

Quotient : $x^2 - x$. Reste : $-5$.

Exercice 7 : division par degré 2

Diviser $x^3 + x^2 - x + 2$ par $x^2 + 1$.

Corrigé :

• $x^3 \div x^2 = x$ ; $x(x^2+1) = x^3 + x$ ; reste $x^2 - 2x + 2$
• $x^2 \div x^2 = 1$ ; $1(x^2+1) = x^2 + 1$ ; reste $-2x + 1$

Quotient : $x + 1$. Reste : $-2x + 1$.

Exercice 8 : factoriser par division

Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Corrigé : $P(1) = 0$. Diviser par $(x-1)$ : quotient $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$.

Exercice 9 : racine multiple

Factoriser $P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Corrigé : $P(-1) = 0$. Diviser : $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Donc $P(x) = (x+1)^3$.

Exercice 10 : fraction impropre

Réécrire $\dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}$ comme polynôme + fraction propre.

Corrigé : Division : quotient $x + 2$, reste 3. Donc $\dfrac{x^2+x+1}{x-1} = x + 2 + \dfrac{3}{x-1}$.

Exercice 11 : asymptote oblique

Trouver l'asymptote oblique de $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x}$.

Corrigé : $f(x) = x + 2 - \dfrac{1}{x}$. Asymptote oblique : $y = x + 2$.

Exercice 12 : décomposition en éléments simples

Décomposer $\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$.

Corrigé : $\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$. On trouve $A = 1$, $B = -1$.

$\dfrac{3}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+2}$.

Exercice 13 : évaluation par Horner

Calculer $P(3)$ pour $P(x) = 2x^3 - x^2 + 4$.

Corrigé : Coefficients 2, −1, 0, 4. Horner : 2 → $2 \times 3 - 1 = 5$ → $5 \times 3 + 0 = 15$ → $15 \times 3 + 4 = 49$. $P(3) = 49$.

Exercice 14 : PGCD de polynômes

Trouver le PGCD de $x^2 - 1$ et $x^2 - 3x + 2$.

Corrigé : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$. Facteur commun : $(x - 1)$. PGCD : $x - 1$.

Exercice 15 : équation de degré 3

Résoudre $x^3 - 7x + 6 = 0$.

Corrigé : $P(1) = 0$. Diviser par $(x-1)$ : $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)$. Solutions : 1, 2, −3.

Conseils méthodologiques

• Pour diviser par $(x - a)$ : Horner est le plus rapide
• Pour diviser par un degré ≥ 2 : division posée classique
• Vérifier : $A = BQ + R$
• Pour factoriser : tester les racines simples d'abord

Conclusion

Ces 15 exercices couvrent la division de polynômes, le schéma de Horner, la factorisation, les fractions rationnelles. La pratique consolide la méthode. Notre Calculatrice de division de polynômes effectue ces divisions avec le détail.