Schéma de Horner : diviser et évaluer un polynôme
Le schéma de Horner est une méthode rapide pour diviser un polynôme par $(x - a)$. Il accélère aussi l'évaluation des polynômes.
Le contexte
La division d'un polynôme par $(x - a)$ est très fréquente (pour factoriser). Le schéma de Horner la rend mécanique et rapide.
Le principe de Horner pour la division
Pour diviser $a_n x^n + \ldots + a_0$ par $(x - a)$, on construit un tableau :
- Écrire les coefficients du dividende sur une ligne
- Descendre le premier coefficient
- Multiplier par $a$, additionner au coefficient suivant
- Répéter
Exemple détaillé
Diviser $2x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ par $(x - 3)$. Coefficients : 2, −6, 2, −1. On utilise $a = 3$.
| 2 | −6 | 2 | −1 | |
|---|---|---|---|---|
| ×3 | ↓ | 6 | 0 | 6 |
| = | 2 | 0 | 2 | 5 |
- Descendre le 2
- $2 \times 3 = 6$ ; $-6 + 6 = 0$
- $0 \times 3 = 0$ ; $2 + 0 = 2$
- $2 \times 3 = 6$ ; $-1 + 6 = 5$
Quotient : $2x^2 + 0x + 2 = 2x^2 + 2$. Reste : $5$.
Lire le résultat
Les nombres de la dernière ligne, sauf le dernier, sont les coefficients du quotient. Le dernier nombre est le reste.
Le reste = la valeur du polynôme
Le reste obtenu (ici 5) est exactement $P(3)$ : c'est le théorème du reste. Le schéma de Horner calcule donc aussi la valeur du polynôme !
Horner pour évaluer un polynôme
Pour calculer $P(a)$, le schéma de Horner est plus efficace que la substitution directe.
$P(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ se réécrit :
$P(x) = ((a_3 x + a_2)x + a_1)x + a_0$
On calcule de l'intérieur vers l'extérieur : moins de multiplications.
Le gain de Horner
Évaluer un polynôme de degré $n$ par substitution directe demande de nombreuses multiplications (calcul de chaque puissance). Le schéma de Horner n'utilise que $n$ multiplications et $n$ additions. C'est optimal.
Exemple d'évaluation
Calculer $P(2)$ pour $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$.
- Coefficients : 3, −2, 5, −1
- Descendre 3 ; $3 \times 2 - 2 = 4$ ; $4 \times 2 + 5 = 13$ ; $13 \times 2 - 1 = 25$
$P(2) = 25$.
Tester une racine
Le schéma de Horner permet de tester rapidement si $a$ est racine : si le reste est 0, alors $a$ est racine et le quotient donne la factorisation.
Diviser et factoriser en une étape
Si Horner donne un reste nul, on a immédiatement la factorisation $P(x) = (x - a) \times Q(x)$, avec $Q$ lu dans le tableau.
Horner en informatique
Le schéma de Horner est l'algorithme standard d'évaluation des polynômes dans les ordinateurs. Rapide, peu d'opérations, stable numériquement.
Limite de Horner
Le schéma de Horner classique ne fonctionne que pour la division par $(x - a)$ (diviseur de degré 1). Pour diviser par un polynôme de degré supérieur, on revient à la division posée générale.
Horner généralisé
Il existe des variantes pour diviser par $(x^2 + bx + c)$ ou pour calculer aussi les dérivées du polynôme. Mais le cas $(x - a)$ reste le plus courant.
Avantages du schéma de Horner
- Rapide et mécanique
- Donne quotient ET reste (= valeur du polynôme)
- Idéal pour tester des racines
- Optimal en nombre d'opérations
Conclusion
Le schéma de Horner divise rapidement par $(x - a)$ et évalue les polynômes efficacement. Le reste obtenu est la valeur du polynôme. C'est l'outil de référence pour tester des racines et factoriser. Notre Calculatrice de division de polynômes applique cette méthode.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice de division de polynômes — calcul instantané avec explication pas à pas.