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Équations avec fractions et racines : méthode et pièges

Les équations avec fractions (rationnelles) et les équations avec racines (irrationnelles) demandent des précautions particulières. Méthode détaillée.

Les équations rationnelles

Une équation rationnelle contient l'inconnue au dénominateur d'une ou plusieurs fractions.

Les valeurs interdites

Première étape cruciale : identifier les valeurs qui annulent un dénominateur. Ce sont les valeurs interdites, exclues d'office.

Exemple : dans $\dfrac{1}{x - 3}$, la valeur $x = 3$ est interdite.

Méthode pour les équations rationnelles

  1. Déterminer les valeurs interdites
  2. Réduire au même dénominateur
  3. Une fraction est nulle si son numérateur l'est (dénominateur non nul)
  4. Ou : multiplier les deux membres par le dénominateur commun
  5. Résoudre l'équation polynomiale obtenue
  6. Écarter les solutions qui sont des valeurs interdites

Exemple détaillé

Résoudre $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x - 1} = 1$.

  1. Valeurs interdites : $x \ne 0$ et $x \ne 1$
  2. Dénominateur commun : $x(x - 1)$
  3. $\dfrac{2(x-1) + x}{x(x-1)} = 1$ → $3x - 2 = x(x-1)$
  4. $3x - 2 = x^2 - x$ → $x^2 - 4x + 2 = 0$
  5. $\Delta = 16 - 8 = 8$ → $x = 2 \pm \sqrt{2}$
  6. Ni l'une ni l'autre n'est interdite : deux solutions valides

Le piège de la valeur interdite

Si la résolution donne une valeur interdite comme « solution », il faut l'écarter. C'est une fausse solution introduite par la multiplication.

Les équations irrationnelles

Une équation irrationnelle contient l'inconnue sous une racine (carrée le plus souvent).

Le domaine de validité

L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. C'est la première contrainte.

De plus, si la racine égale une autre expression, celle-ci doit aussi être positive (une racine carrée est toujours $\ge 0$).

Méthode pour les équations irrationnelles

  1. Déterminer le domaine de validité
  2. Isoler la racine d'un côté
  3. Élever les deux membres au carré
  4. Résoudre l'équation obtenue
  5. Vérifier impérativement chaque solution dans l'équation initiale

Pourquoi vérifier ?

Élever au carré peut introduire des solutions parasites. En effet, $a = b$ implique $a^2 = b^2$, mais la réciproque est fausse ($a^2 = b^2$ admet aussi $a = -b$).

Exemple détaillé

Résoudre $\sqrt{2x + 1} = x - 1$.

  1. Domaine : $2x + 1 \ge 0$ ($x \ge -1/2$) ET $x - 1 \ge 0$ ($x \ge 1$). Donc $x \ge 1$.
  2. Élever au carré : $2x + 1 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
  3. $x^2 - 4x = 0$ → $x(x - 4) = 0$ → $x = 0$ ou $x = 4$
  4. $x = 0$ : hors domaine ($x \ge 1$) → rejeté. $x = 4$ : dans le domaine
  5. Vérification : $\sqrt{9} = 3 = 4 - 1$ ✓

Solution unique : $x = 4$.

Équation avec deux racines

Pour $\sqrt{A} + \sqrt{B} = C$, on isole une racine, on élève au carré, il reste souvent une racine — on recommence.

Équations avec racines cubiques

Pour une racine cubique, on élève au cube. Avantage : pas de solution parasite (la fonction cube est bijective). Mais la vérification reste prudente.

Combiner fractions et racines

Certaines équations mêlent les deux : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 2$. On combine les méthodes : domaine ($x > 0$), puis manipulation.

Les erreurs courantes

Le bon réflexe : domaine d'abord, vérification ensuite

Pour ces équations, encadrer la résolution : déterminer le domaine au début, vérifier les solutions à la fin. C'est ce qui distingue une résolution correcte d'une résolution fausse.

Conclusion

Équations rationnelles : attention aux valeurs interdites. Équations irrationnelles : attention au domaine et aux solutions parasites après élévation au carré. La vérification finale est indispensable. Notre Calculatrice d'équations gère ces équations avec leurs contraintes.

🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice d'équations — calcul instantané avec explication pas à pas.

L'équipe pédagogique de Facilcalcul.fr.
Mis à jour le 17 mai 2026.

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