Équations exponentielles, logarithmiques et transcendantes

Les équations exponentielles, logarithmiques et transcendantes contiennent l'inconnue dans des fonctions « non algébriques ». Méthodes de résolution.

Les équations exponentielles

L'inconnue apparaît en exposant. Forme typique : $a^x = b$.

Résoudre a^x = b

On applique le logarithme aux deux membres :

$x = \dfrac{\ln b}{\ln a} = \log_a b$

(Valable si $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$.)

Exemple

$2^x = 16$ → $x = \ln 16 / \ln 2 = 4$. (Ou directement : $16 = 2^4$.)

Exponentielles avec même base

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.

Si on peut écrire les deux membres avec la même base, on identifie les exposants.

Exemple

$3^{2x} = 27$ → $3^{2x} = 3^3$ → $2x = 3$ → $x = 1{,}5$.

Exponentielles se ramenant au second degré

$e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$. Poser $X = e^x$ (avec $X > 0$) : $X^2 - 5X + 6 = 0$ → $X = 2$ ou $X = 3$.

Puis $e^x = 2$ → $x = \ln 2$ ; $e^x = 3$ → $x = \ln 3$.

Les équations logarithmiques

L'inconnue apparaît dans un logarithme.

Le domaine de validité

L'argument d'un logarithme doit être strictement positif. Première étape : déterminer les contraintes.

Résoudre ln(x) = b

On applique l'exponentielle : $x = e^b$.

$\ln x = 2$ → $x = e^2 \approx 7{,}39$.

Logarithmes avec même base

$\ln(f(x)) = \ln(g(x)) \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ (avec $f(x), g(x) > 0$).

Exemple

$\ln(x + 1) = \ln(2x - 3)$ → $x + 1 = 2x - 3$ → $x = 4$. Vérifier que les arguments sont positifs : $5 > 0$ et $5 > 0$ ✓

Utiliser les propriétés des logarithmes

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
• $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
• $\ln(a^n) = n\ln a$

Ces propriétés permettent de regrouper plusieurs logarithmes en un seul.

Exemple

$\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6$ → $\ln(x(x-1)) = \ln 6$ → $x^2 - x - 6 = 0$ → $x = 3$ ou $x = -2$.

Domaine : $x > 1$. Donc seule $x = 3$ convient.

Les équations transcendantes

Une équation est transcendante quand elle mélange des fonctions de natures différentes : polynôme + exponentielle, exponentielle + trigonométrique...

Exemples : $x = \cos x$, $e^x = x + 2$, $x \ln x = 1$.

Pas de solution analytique

La plupart des équations transcendantes n'ont pas de solution exprimable avec les fonctions usuelles. Il faut les résoudre numériquement.

Exemple : x = cos x

Cette équation a une unique solution (le « point fixe » du cosinus), environ $x \approx 0{,}739$. Aucune formule ne l'exprime ; on l'approche par itération.

La fonction W de Lambert

Certaines équations transcendantes du type $xe^x = a$ se résolvent avec la fonction W de Lambert, une fonction spéciale définie pour cela. Mais c'est une exception.

Stratégie pour les transcendantes

1. Vérifier s'il existe une astuce algébrique (changement de variable)
2. Sinon, localiser les solutions (étude de fonction, graphique)
3. Approcher numériquement (dichotomie, Newton)

Équations exponentielle = polynôme

$e^x = x^2$ : pas de solution analytique. On trace les deux courbes, on repère les intersections, on affine numériquement.

Le piège : croire qu'une formule existe toujours

Beaucoup d'équations n'ont pas de solution « en forme close ». Ce n'est pas un échec : la résolution numérique est une réponse parfaitement valable.

Vérification

Pour exponentielles et logarithmes, vérifier le domaine est essentiel. Une « solution » qui rend un logarithme indéfini doit être écartée.

Conclusion

Exponentielles et logarithmes se résolvent par les fonctions réciproques (logarithme / exponentielle). Les équations transcendantes, sans solution analytique, se résolvent numériquement. Notre Calculatrice d'équations traite ces équations.