Opérations sur les fractions : addition, multiplication, division
Additionner, soustraire, multiplier, diviser des fractions : les quatre opérations obéissent à des règles précises qu'on confond souvent. Tour d'horizon méthodique avec exemples.
Addition et soustraction
Avec même dénominateur
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
On additionne les numérateurs, le dénominateur reste identique. Exemple : 3/7 + 2/7 = 5/7.
Avec dénominateurs différents
- Trouver un dénominateur commun (idéalement le PPCM)
- Convertir chaque fraction au dénominateur commun
- Additionner les numérateurs
- Simplifier si possible
Exemple
2/3 + 1/4 :
- PPCM(3, 4) = 12
- 2/3 = 8/12 et 1/4 = 3/12
- 8/12 + 3/12 = 11/12
Méthode universelle : produit des dénominateurs
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$
Toujours valable, à simplifier ensuite. Avec 2/3 + 1/4 : (2×4 + 3×1) / (3×4) = 11/12. Idem.
Multiplication
Règle générale
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
On multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
Exemple
3/5 × 2/7 = 6/35.
Simplification en croix avant calcul
Avant de multiplier, on peut simplifier en croix pour réduire les calculs :
4/9 × 3/8 = 4/8 × 3/9 = 1/2 × 1/3 = 1/6 (après simplification croisée des 4-8 et 3-9).
Cas multiplicatifs particuliers
- Fraction × entier : $n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$
- Fraction × 0 = 0
- Fraction × 1 = fraction
- Fraction × elle-même = carré (puissance 2)
Division
Règle générale
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$
Diviser, c'est multiplier par l'inverse.
Exemple
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
Cas particuliers
- $\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \cdot n}$ (diviser par un entier multiplie le dénominateur)
- $n \div \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$ (diviser un entier par une fraction)
Puissance d'une fraction
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Exemples : (2/3)² = 4/9, (1/2)³ = 1/8.
Puissance négative
$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
(2/3)⁻¹ = 3/2 ; (5/4)⁻² = (4/5)² = 16/25.
Racine d'une fraction
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
√(9/16) = 3/4.
Ordre des opérations
Comme pour les nombres entiers, respecter la priorité :
- Parenthèses
- Puissances et racines
- Multiplications et divisions (de gauche à droite)
- Additions et soustractions (de gauche à droite)
Exemple complet
$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{5}$
- Multiplication d'abord : 1/4 × 6/5 = 6/20 = 3/10
- Addition : 2/3 + 3/10 = 20/30 + 9/30 = 29/30
Erreurs fréquentes
- Additionner numérateurs ET dénominateurs : 1/2 + 1/3 ≠ 2/5 (faux !) → correct 5/6
- Multiplier en croix au lieu de diviser : confusion avec la résolution d'équations
- Oublier de simplifier à la fin
- Confondre numérateur et dénominateur dans l'inverse
Cas pratique : recette
Une recette pour 4 personnes utilise 3/4 de tasse de farine. Pour 6 personnes :
- Facteur d'échelle : 6/4 = 3/2
- Farine : 3/4 × 3/2 = 9/8 = 1 + 1/8 tasse
Cas pratique : partage
Trois amis se partagent 7/8 d'une pizza équitablement. Chacun reçoit :
- 7/8 ÷ 3 = 7/8 × 1/3 = 7/24 de pizza
Fractions négatives
$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$. Toujours préférer le signe « − » devant la fraction ou au numérateur, jamais au dénominateur.
Conclusion
Les quatre opérations sur fractions suivent des règles distinctes mais cohérentes. Avec un peu de pratique, elles deviennent aussi naturelles que sur les entiers. Notre Calculatrice de fractions effectue toutes ces opérations et affiche le résultat sous forme simplifiée.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice de fractions — calcul instantané avec explication pas à pas.