Identités remarquables : les 3 formules de base

Les identités remarquables sont trois formules d'algèbre à connaître par cœur. Elles permettent de développer et de factoriser instantanément. Présentation des trois piliers.

Qu'est-ce qu'une identité remarquable ?

Une identité remarquable est une égalité algébrique vraie pour toutes les valeurs des variables. Elle relie une forme développée et une forme factorisée.

Les trois identités de base

1. Carré d'une somme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Carré d'une différence

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3. Produit d'une somme par une différence

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Le carré d'une somme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Le carré d'une somme n'est PAS $a^2 + b^2$ : il y a un terme supplémentaire, le double produit $2ab$.

Exemple développement

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Le carré d'une différence

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Même structure, mais le double produit est négatif.

Exemple

$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$.

La différence de deux carrés

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Le produit d'une somme par une différence donne une simple différence de carrés (les termes croisés s'annulent).

Exemple

$(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$.

Démonstration du carré d'une somme

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. On développe :

$= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Les deux usages

Les identités servent dans les deux sens :

• Développer : de gauche à droite ($(a+b)^2 \to a^2 + 2ab + b^2$)
• Factoriser : de droite à gauche ($a^2 + 2ab + b^2 \to (a+b)^2$)

L'erreur la plus fréquente

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$

Oublier le double produit $2ab$ est l'erreur N°1. $(3 + 2)^2 = 25$, alors que $3^2 + 2^2 = 13$.

Reconnaître les identités

Pour factoriser, repérer le motif :

• Trois termes, deux carrés + double produit → carré d'une somme/différence
• Deux termes, différence de carrés → produit somme × différence

Exemples de factorisation

Avec des coefficients

$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Bien identifier $a = 2x$ et $b = 3$.

Pourquoi « remarquables » ?

Ces identités sont « remarquables » car elles sont fréquentes, faciles à mémoriser, et accélèrent énormément les calculs algébriques.

Histoire

Ces identités étaient connues dès l'Antiquité, sous forme géométrique (les Grecs raisonnaient sur des aires). Le livre II des Éléments d'Euclide les présente géométriquement.

Conclusion

Les trois identités remarquables — carré d'une somme, carré d'une différence, différence de carrés — sont les formules de base de l'algèbre. À mémoriser absolument. Notre Calculatrice d'identités remarquables les applique pour développer et factoriser.