Identités remarquables : astuces de calcul mental

Les identités remarquables sont de puissants outils de calcul mental. Elles transforment des multiplications difficiles en opérations simples.

Le principe

Les identités remarquables permettent de remplacer une multiplication compliquée par des opérations faciles (carrés de nombres ronds, additions).

Multiplier deux nombres « symétriques »

Pour $a \times b$ où $a$ et $b$ sont symétriques autour d'un nombre rond, utiliser la différence de carrés.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, donc $(n - d)(n + d) = n^2 - d^2$.

Exemple : 47 × 53

$47 \times 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Exemple : 98 × 102

$98 \times 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 10000 - 4 = 9996$.

Calculer un carré : nombre proche d'un rond

$(n + d)^2 = n^2 + 2nd + d^2$ où $n$ est rond.

Exemple : 52²

$52^2 = (50 + 2)^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.

Exemple : 97²

$97^2 = (100 - 3)^2 = 10000 - 600 + 9 = 9409$.

Le carré d'un nombre finissant par 5

Astuce : pour $\overline{n5}^2$, calculer $n(n+1)$ puis accoler 25.

• $25^2$ : $2 \times 3 = 6$ → 625
• $35^2$ : $3 \times 4 = 12$ → 1225
• $65^2$ : $6 \times 7 = 42$ → 4225
• $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ → 7225

Cela découle de $(10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n+1) + 25$.

Multiplier deux nombres proches

$53 \times 56$ : on peut écrire $53 = 54 - 1$, $56 = 54 + 2$... ou utiliser une moyenne.

Méthode : $53 \times 56 = (54{,}5)^2 - (1{,}5)^2$ (différence de carrés autour de la moyenne). Plus simple : $53 \times 56 = 53 \times 56$ directement, ou décomposer.

Multiplier par un nombre proche de 100

$96 \times 97$ : compléments à 100 sont 4 et 3.

$(100-4)(100-3) = 10000 - 300 - 400 + 12 = 9312$.

Élever 11 au carré, 101 au carré...

• $11^2 = (10+1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121$
• $101^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$
• $1001^2 = 1002001$

Le cube d'un nombre proche d'un rond

$(n + d)^3 = n^3 + 3n^2 d + 3nd^2 + d^3$.

$21^3 = (20+1)^3 = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261$.

Vérifier une multiplication

Les identités permettent de vérifier rapidement : $99^2$ doit valoir $9801$ (= $10000 - 200 + 1$). Si une calculatrice donne autre chose, erreur de saisie.

Multiplier des nombres encadrant un carré

$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$ : un carré est toujours le produit de ses voisins plus 1.

$8 \times 10 = 80 = 9^2 - 1$.

Calculs avec des fractions

$(1 + \tfrac{1}{2})^2 = 1 + 1 + \tfrac{1}{4} = 2{,}25$. Les identités marchent aussi avec les fractions et décimaux.

Astuce : produit de deux nombres de même dizaine

Pour deux nombres de même dizaine dont les unités totalisent 10 : $43 \times 47$. Dizaine 4, unités 3 et 7 (somme 10).

Résultat : $4 \times 5 = 20$ puis accoler $3 \times 7 = 21$ → $2021$.

Pourquoi ces astuces marchent

Toutes découlent des identités remarquables appliquées à des décompositions astucieuses. Comprendre l'identité permet d'inventer ses propres astuces.

S'entraîner

Le calcul mental rapide vient avec la pratique. Quelques minutes par jour suffisent pour automatiser ces techniques.

L'intérêt au-delà du calcul

Ces astuces ne servent pas qu'à calculer vite : elles développent le « sens du nombre » et la compréhension de la structure algébrique.

Conclusion

Les identités remarquables transforment le calcul mental : multiplications de nombres symétriques (différence de carrés), carrés de nombres proches d'un rond, carrés finissant par 5. Notre Calculatrice d'identités remarquables permet de vérifier ces calculs.