Identités remarquables de degré supérieur : cubes et binôme

Au-delà des trois identités de base, il existe des identités de degré supérieur : cube d'une somme, somme et différence de cubes, et formules générales. Tour d'horizon.

Le cube d'une somme

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

Le cube d'une différence

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$

Les signes alternent.

Exemple

$(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

La somme de deux cubes

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

La différence de deux cubes

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Exemples

• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
• $x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$
• $8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

Attention à ne pas confondre

$a^3 + b^3 \ne (a + b)^3$ ! La somme de cubes a une factorisation spécifique avec un second facteur de degré 2.

Le triangle de Pascal

Les coefficients du développement de $(a + b)^n$ sont donnés par le triangle de Pascal :

n=0 :        1
n=1 :       1 1
n=2 :      1 2 1
n=3 :     1 3 3 1
n=4 :    1 4 6 4 1
n=5 :   1 5 10 10 5 1

La formule du binôme de Newton

La formule générale pour développer $(a + b)^n$ :

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial (ligne $n$ du triangle de Pascal).

Exemple avec le binôme

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ (coefficients 1, 4, 6, 4, 1).

La différence de puissances n-ièmes

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Exemples

• $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
• $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
• $x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$

La somme de puissances impaires

Pour $n$ impair : $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$.

(Pour $n$ pair, $a^n + b^n$ ne se factorise pas simplement dans les réels.)

Le carré d'un trinôme

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Tous les carrés, plus tous les doubles produits.

Identités à trois termes

$(a + b + c)^3$, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ : il existe des identités plus avancées, utiles dans des contextes spécifiques.

L'identité a³ + b³ + c³ − 3abc

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

Identité élégante, utilisée en théorie des nombres.

Factoriser x⁴ + x²y² + y⁴

Astuce : ajouter et retrancher $x^2y^2$ pour faire apparaître un carré.

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$.

L'utilité du triangle de Pascal

Pour développer $(a + b)^n$ rapidement, lire les coefficients dans la ligne $n$ du triangle de Pascal. Bien plus rapide que la multiplication directe.

Construire le triangle de Pascal

Chaque nombre est la somme des deux au-dessus de lui. Les bords sont des 1. Construction simple, mémorisation facile des premières lignes.

Conclusion

Les identités de degré supérieur — cube d'une somme, somme/différence de cubes, binôme de Newton — étendent les trois identités de base. Le triangle de Pascal donne tous les coefficients. Notre Calculatrice d'identités remarquables applique ces identités.