Équations différentielles : 1er et 2nd ordre, méthodes, applications

Les équations différentielles (ÉquaDiff) relient une fonction à ses dérivées. Au programme de terminale et omniprésentes en physique, chimie, biologie et économie, elles modélisent l'évolution temporelle des systèmes : refroidissement, désintégration radioactive, croissance d'une population, oscillations. Cet article présente les ÉquaDiff du premier et second ordre les plus courantes et leurs solutions.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue y(x) et ses dérivées y', y'', etc.

Exemples :

• y' = 3y (ÉquaDiff du 1^er ordre)
• y' + 2y = e^x
• y'' + 4y = 0 (ÉquaDiff du 2^nd ordre)

Résoudre une ÉquaDiff, c'est trouver toutes les fonctions y(x) qui satisfont la relation.

ÉquaDiff du 1^er ordre y' = ay

Solution générale :

y(x) = C × e^(ax), C ∈ ℝ

Démonstration : si y(x) = e^(ax), alors y'(x) = a × e^(ax) = a × y(x). ✓

La constante C est déterminée par une condition initiale y(x_0) = y_0.

Exemple : croissance d'une population

Une population croît à 2 % par an. Avec p(t) la population à l'instant t :

p'(t) = 0,02 × p(t)

Solution : p(t) = p_0 × e^(0,02 t).

Pour p_0 = 1 million et t = 30 ans : p(30) = 1 × e^0,6 ≈ 1,822 million.

Exemple : désintégration radioactive

Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans.

N'(t) = -λ × N(t), avec λ = ln(2) / 5730.

Solution : N(t) = N_0 × e^(-λt).

ÉquaDiff du 1^er ordre y' = ay + b

Forme générale avec second membre constant :

y' = ay + b

Solution générale :

y(x) = C × e^(ax) - b/a, C ∈ ℝ

Démonstration : on cherche d'abord une solution particulière constante : y_p = -b/a (vérifie y' = 0 = a × (-b/a) + b = 0 ✓). Solution générale = solution homogène + solution particulière.

Exemple : loi de Newton du refroidissement

Un café à 80°C dans une pièce à 20°C refroidit selon :

T'(t) = -k × (T(t) - 20)

Soit T'(t) = -k × T + 20k. Avec a = -k, b = 20k.

Solution : T(t) = (T_0 - 20) × e^(-kt) + 20.

Pour k = 0,05 et T_0 = 80 : T(10) = 60 × e^(-0,5) + 20 ≈ 56,4°C.

ÉquaDiff du 1^er ordre y' + a(x)y = b(x)

Forme linéaire générale avec coefficients variables.

Méthode du facteur intégrant

Multiplier par e^(A(x)) où A(x) est une primitive de a(x). L'équation devient :

(e^A(x) × y)' = e^A(x) × b(x)

Intégrer puis isoler y.

Exemple : y' + 2y = x

a(x) = 2, A(x) = 2x. Facteur intégrant : e^(2x).

(e^(2x) × y)' = x × e^(2x).

e^(2x) × y = ∫ x × e^(2x) dx + C.

Par intégration par parties : ∫ x × e^(2x) dx = (x/2 - 1/4) × e^(2x).

y = (x/2 - 1/4) + C × e^(-2x).

ÉquaDiff du 2^nd ordre y'' + ay' + by = 0

Équation caractéristique :

r² + ar + b = 0

Discriminant Δ = a² - 4b.

Cas 1 : Δ > 0 (deux racines réelles distinctes r_1, r_2)

y(x) = A × e^(r_1 x) + B × e^(r_2 x)

Cas 2 : Δ = 0 (racine double r)

y(x) = (A + Bx) × e^(rx)

Cas 3 : Δ < 0 (racines complexes α ± iβ)

y(x) = e^(αx) × (A × cos(βx) + B × sin(βx))

A et B déterminés par 2 conditions initiales.

Exemple : oscillateur harmonique

y'' + ω² × y = 0 (mouvement d'un ressort, d'un pendule, d'un circuit LC).

Équation caractéristique : r² + ω² = 0 → r = ±iω.

Solution : y(x) = A × cos(ωx) + B × sin(ωx).

Ou en forme amplitude-phase : y(x) = R × cos(ωx + φ).

Application : ressort

Un ressort de raideur k accroché à une masse m. Équation : m × ẍ + k × x = 0.

ω = √(k/m). Période T = 2π/ω = 2π × √(m/k).

Exemple : oscillateur amorti

y'' + 2γy' + ω₀² × y = 0 (frottements visqueux).

Équation caractéristique : r² + 2γr + ω₀² = 0.

Trois régimes selon Δ = 4γ² - 4ω₀² = 4(γ² - ω₀²) :

Régime sous-amorti (γ < ω₀)

Δ < 0. Solution : y(x) = e^(-γx) × (A cos(ωx) + B sin(ωx)) avec ω = √(ω₀² - γ²).

Oscillations qui s'atténuent exponentiellement.

Régime critique (γ = ω₀)

Δ = 0. Solution : y(x) = (A + Bx) × e^(-γx).

Retour le plus rapide vers l'équilibre sans oscillation.

Régime sur-amorti (γ > ω₀)

Δ > 0. Solution : exponentielles décroissantes. Retour lent à l'équilibre.

ÉquaDiff avec second membre

Pour y'' + ay' + by = f(x), méthode :

1. Résoudre l'équation homogène y'' + ay' + by = 0 → solution générale y_h
2. Trouver une solution particulière y_p
3. Solution générale : y = y_h + y_p

Méthodes pour trouver y_p

• f polynôme → essayer un polynôme de même degré
• f = e^(αx) → essayer C × e^(αx) (si α n'est pas racine de l'équation caractéristique)
• f = cos(ωx) ou sin(ωx) → essayer A cos(ωx) + B sin(ωx)

ÉquaDiff non linéaires

Beaucoup plus difficiles. Quelques cas résolubles analytiquement :

Équations à variables séparables

De la forme y' = f(x) × g(y). Séparer :

dy/g(y) = f(x) dx

Puis intégrer.

Exemple : modèle logistique de population

p' = r × p × (1 - p/K).

Solution : p(t) = K / (1 + ((K-p_0)/p_0) × e^(-rt)).

Croissance exponentielle au début, ralentit en approchant de la capacité de charge K.

Systèmes d'équations différentielles

Plusieurs fonctions inconnues, plusieurs équations. Exemple : modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra :

x' = αx - βxy (proies)

y' = δxy - γy (prédateurs)

Solutions oscillantes en cycles (modélise l'écologie de populations animales).

Résolution numérique

Quand pas de solution analytique :

Méthode d'Euler

À partir de y(x_0) = y_0, calculer pas à pas :

y_{n+1} = y_n + h × f(x_n, y_n)

Pour y' = f(x, y) et un pas h petit.

Méthodes plus précises

• Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) : standard pour la précision
• Méthodes adaptatives : pas variables selon la régularité

Implémentées dans Python (scipy.integrate.odeint), MATLAB, Mathematica.

Applications par domaine

Physique

• Mécanique : F = ma, soit m × x'' = F(x, x', t)
• Électricité : circuits RC, RL, RLC
• Thermodynamique : transferts de chaleur, loi de Newton
• Mécanique des fluides : équations de Navier-Stokes
• Mécanique quantique : équation de Schrödinger

Chimie

• Cinétique chimique : vitesse de réaction
• Désintégration radioactive

Biologie

• Modèles de population (logistique, Lotka-Volterra)
• Pharmacocinétique : concentration d'un médicament
• Épidémiologie : modèles SIR pour la propagation des maladies

Économie et finance

• Modèles de croissance économique (Solow)
• Évaluation d'options : équation de Black-Scholes

Conditions aux limites vs conditions initiales

Conditions initiales

Valeurs de y et y' en un point x_0 (souvent t = 0).

Une ÉquaDiff d'ordre n nécessite n conditions pour une solution unique.

Conditions aux limites

Valeurs de y aux extrémités d'un intervalle. Apparaît en physique (corde vibrante fixée à ses bouts).

Calcul sur calculatrice

Notre Calculatrice scientifique ne gère pas directement les ÉquaDiff. Pour cela :

• Calculatrices graphiques (CASIO Graph 90+E, TI-Nspire) : résolution numérique avec représentation graphique
• Wolfram Alpha (en ligne, gratuit) : résolution symbolique
• Python (scipy, SymPy) : résolution numérique et symbolique

Conclusion

Les équations différentielles sont l'outil principal de modélisation en sciences. Maîtriser les ÉquaDiff du 1^er et 2^nd ordre linéaires couvre 80 % des applications usuelles au lycée et début de prépa. Pour les cas complexes, on utilise des solveurs numériques. Pour les calculs intermédiaires (caractéristique, vérification), utilisez notre Calculatrice scientifique.