Factorielle (n!) et combinatoire : permutations, arrangements, combinaisons

La factorielle (notée n!) est l'opération qui multiplie tous les entiers de 1 à n. Elle est fondamentale en combinatoire, probabilités, et analyse. 10! = 3 628 800, 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸. Cet article explique la définition, les propriétés, et présente les applications concrètes en dénombrement (arrangements, permutations, combinaisons).

Définition de la factorielle

Pour un entier positif n :

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Cas particulier : 0! = 1 (par convention, pour cohérence des formules).

Exemples :

• 1! = 1
• 2! = 2
• 3! = 6
• 4! = 24
• 5! = 120
• 6! = 720
• 7! = 5 040
• 8! = 40 320
• 9! = 362 880
• 10! = 3 628 800

La factorielle croît très rapidement : plus vite que toute exponentielle.

Propriétés de la factorielle

Relation de récurrence

n! = n × (n-1)!

Permet le calcul itératif : 10! = 10 × 9! = 10 × 362 880 = 3 628 800.

Approximation de Stirling

Pour les grandes valeurs de n :

n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n

Pour n = 20 : Stirling donne 2,42 × 10¹⁸. Exact : 2,43 × 10¹⁸. Excellente précision.

Croissance comparée

n! dépasse n² dès n=4 et 2^n dès n=4. C'est la fonction usuelle qui croît le plus vite.

Permutations : combien d'ordres possibles ?

Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble. Nombre de permutations de n objets distincts :

P(n) = n!

Exemples concrets

Disposer 5 livres sur une étagère : 5! = 120 façons.

Ordre de passage à un concours avec 8 candidats : 8! = 40 320 ordres possibles.

Ranger les 52 cartes d'un jeu : 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷ combinaisons. Plus que le nombre d'atomes dans la galaxie. Chaque mélange de cartes est, statistiquement, unique dans l'histoire humaine.

Arrangements : choisir k parmi n avec ordre

Nombre de façons de choisir k objets parmi n en tenant compte de l'ordre :

A(n, k) = n! / (n - k)!

Exemple : podium aux Jeux Olympiques

Dans une finale du 100m avec 8 coureurs, combien de podiums (or, argent, bronze) possibles ?

• A(8, 3) = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336 podiums

Exemple : code à 4 chiffres distincts

Combien de codes à 4 chiffres distincts parmi 0-9 ?

• A(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 codes

Combinaisons : choisir k parmi n sans ordre

Nombre de façons de choisir k objets parmi n sans tenir compte de l'ordre :

C(n, k) = n! / (k! × (n - k)!)

Notation : C(n, k), ou « n parmi k », ou (n k) en notation française.

Exemple : tirer une main de poker

Dans un jeu de 52 cartes, combien de mains de 5 cartes possibles ?

• C(52, 5) = 52! / (5! × 47!) = 2 598 960 mains

Exemple : choisir 6 numéros au Loto sur 49

C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13 983 816 combinaisons. Probabilité de gagner avec 1 ticket : 1 / 13 983 816 ≈ 0,0000071 %.

Exemple : équipe de 5 joueurs parmi 12

C(12, 5) = 792 équipes possibles.

Relation arrangement / combinaison

A(n, k) = C(n, k) × k!

Intuitivement : un arrangement de k objets = une combinaison de k objets × le nombre de façons de les ordonner (k!).

Triangle de Pascal

Disposition des coefficients C(n, k) :

n=0:       1
n=1:      1 1
n=2:     1 2 1
n=3:    1 3 3 1
n=4:   1 4 6 4 1
n=5:  1 5 10 10 5 1
n=6: 1 6 15 20 15 6 1

Règle : chaque terme = somme des deux termes au-dessus.

Propriété notable : la somme de la ligne n = 2^n. Pour n=4 : 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴.

Le théorème du binôme de Newton

(a + b)^n = Σ C(n, k) × a^(n-k) × b^k pour k de 0 à n

Exemple pour n = 4 :

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Les coefficients 1, 4, 6, 4, 1 sont la ligne 4 du triangle de Pascal.

Applications en probabilités

Probabilité d'un événement

Pour une expérience à k issues équiprobables choisies parmi n :

P = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Probabilité d'obtenir 3 piles en lançant 5 fois une pièce :

• Nombre de cas favorables : C(5, 3) = 10
• Nombre de cas possibles : 2⁵ = 32
• P = 10 / 32 = 0,3125 (31,25 %)

Loi binomiale

Pour n expériences indépendantes avec probabilité de succès p :

P(k succès) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Applications en biologie : ADN

L'ADN humain compte ~3 milliards de paires de bases. Les permutations possibles sont astronomiques (4 bases possibles à chaque position). Cela explique l'unicité génétique de chaque individu (sauf jumeaux monozygotes).

Applications en informatique : algorithmes

Complexité O(n!)

Le problème du « voyageur de commerce » (TSP) : visiter n villes en passant par chacune une seule fois, à coût minimal.

Solution naïve : tester les n! itinéraires possibles. Pour n = 20 villes : 2,4 × 10¹⁸ itinéraires. Impossible même pour un super-ordinateur.

Heuristiques (méthodes approchées) nécessaires en pratique.

La fonction Gamma : factorielle continue

La factorielle n'est définie que pour les entiers. Pour les réels, la fonction Gamma généralise :

Γ(n+1) = n!

Γ(1/2) = √π ≈ 1,7725. Apparaît en statistiques (loi normale).

Calcul sur la calculatrice scientifique

Sur notre Calculatrice scientifique, la touche n! calcule la factorielle :

• Saisir 5
• Appuyer sur n!
• Résultat : 120

Pour combinaisons/arrangements (non directs sur la calculatrice basique), utiliser les formules :

• C(10, 4) : 10! / (4! * 6!) = 210
• A(10, 4) : 10! / 6! = 5 040

Les limites de la factorielle sur calculatrice

La factorielle dépasse vite les capacités d'affichage :

• 13! = 6,2 × 10⁹ (limite usuelle des calculatrices simples en entier)
• 69! = 1,7 × 10⁹⁸ (limite double précision flottante IEEE 754)
• 70! → overflow sur la plupart des calculatrices

Pour les grandes factorielles : Python avec math.factorial (entiers arbitraires) ou logarithmes (calculer log(n!) puis l'utiliser sans expansion).

Logarithme de la factorielle

Souvent plus utile pour les calculs probabilistes :

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n)

Ou via Stirling :

log(n!) ≈ n × log(n) - n × log(e) + 0,5 × log(2πn)

Conclusion

La factorielle est un outil fondamental en combinatoire et probabilités. Maîtriser permutations (n!), arrangements (A(n,k)) et combinaisons (C(n,k)) est essentiel au lycée et en supérieur. La factorielle croît extrêmement rapidement, jusqu'à dépasser les capacités d'affichage des calculatrices au-delà de 70. Notre Calculatrice scientifique propose la touche n! dédiée pour les calculs courants.