Fonctions hyperboliques sinh, cosh, tanh : définitions et applications

Les fonctions hyperboliques (sinh, cosh, tanh) sont les « cousines » des fonctions trigonométriques, basées sur l'exponentielle plutôt que sur le cercle. Elles apparaissent en physique (chaîne caténaire, relativité), en ingénierie (lignes électriques), et en mathématiques avancées. Cet article présente les définitions, propriétés et applications.

Définitions

Sinus hyperbolique

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

Cosinus hyperbolique

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

Tangente hyperbolique

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

Cotangente, sécante, cosécante hyperboliques

• coth(x) = 1 / tanh(x)
• sech(x) = 1 / cosh(x)
• csch(x) = 1 / sinh(x)

Valeurs particulières

Identité fondamentale

Analogue à sin² + cos² = 1, mais avec un signe différent :

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Démonstration : ((e^x + e^(-x))/2)² - ((e^x - e^(-x))/2)² = (e^(2x) + 2 + e^(-2x))/4 - (e^(2x) - 2 + e^(-2x))/4 = 4/4 = 1.

Origine du nom « hyperbolique »

Le point (cosh(t), sinh(t)) parcourt la branche droite de l'hyperbole x² - y² = 1 quand t varie. Analogie avec le cercle x² + y² = 1 paramétré par (cos(t), sin(t)).

D'où le nom « hyperbolique » par analogie avec les fonctions « circulaires » trigonométriques.

Parité

• sinh est impaire : sinh(-x) = -sinh(x)
• cosh est paire : cosh(-x) = cosh(x)
• tanh est impaire : tanh(-x) = -tanh(x)

Représentation graphique

cosh(x)

Courbe en forme de « chaîne suspendue » (caténaire). Valeur minimum 1 en x = 0. Symétrique. Croît exponentiellement à l'infini.

sinh(x)

Courbe passant par l'origine, impaire. Croît exponentiellement à +∞, décroît à -∞.

tanh(x)

Courbe en « S » bornée entre -1 et 1. Tangente en l'origine de pente 1. Asymptotes y = ±1.

Formules d'addition

sinh(a + b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b)

cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b)

tanh(a + b) = (tanh(a) + tanh(b)) / (1 + tanh(a)tanh(b))

Attention aux signes différents de la trigonométrie classique.

Formules de duplication

• sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
• cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2cosh²(x) - 1 = 1 + 2sinh²(x)

Dérivées des fonctions hyperboliques

(sinh)'(x) = cosh(x)

(cosh)'(x) = sinh(x)

(tanh)'(x) = 1 - tanh²(x) = 1/cosh²(x)

À noter : pas de signe « moins » pour (cosh)', contrairement à (cos)' = -sin.

Primitives

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C

Fonctions hyperboliques inverses (argsh, argch, argth)

Définitions

• argsh(x) = ln(x + √(x² + 1)), défini sur ℝ
• argch(x) = ln(x + √(x² - 1)), défini pour x ≥ 1
• argth(x) = (1/2) × ln((1+x)/(1-x)), défini pour |x| < 1

Dérivées

• (argsh)'(x) = 1/√(x² + 1)
• (argch)'(x) = 1/√(x² - 1) (pour x > 1)
• (argth)'(x) = 1/(1 - x²) (pour |x| < 1)

Lien avec les fonctions trigonométriques (via i)

Pour z complexe :

cos(iz) = cosh(z)

sin(iz) = i × sinh(z)

cosh(iz) = cos(z)

sinh(iz) = i × sin(z)

Lien profond entre trigonométrie circulaire et hyperbolique via les complexes.

Applications physiques

Chaîne caténaire

Une chaîne ou un câble suspendu librement entre deux points (sous l'effet de son propre poids) prend la forme d'une caténaire :

y(x) = a × cosh(x/a)

Exemple célèbre : la Gateway Arch de St. Louis, en forme de caténaire inversée.

Vitesse en chute libre avec frottement

Vitesse limite atteinte par un objet en chute libre dans un fluide :

v(t) = v_∞ × tanh(gt/v_∞)

Tend vers v_∞ asymptotiquement.

Relativité restreinte

Les « rapidités » (additivité des vitesses relativistes) utilisent tanh :

v/c = tanh(rapidité)

Addition de rapidités = addition simple, contrairement aux vitesses qui obéissent à la formule complexe de composition.

Ligne de transmission électrique

Impédance caractéristique en fonction de la longueur de ligne : implique sinh et cosh.

Mécanique quantique

Solutions d'équations différentielles, notamment pour les puits de potentiel.

Applications en mathématiques

Calcul intégral

Substitution u = sinh(x) ou u = cosh(x) pour intégrer certaines expressions :

∫ 1/√(x² + 1) dx → poser x = sinh(t), dx = cosh(t) dt.

Équations différentielles

L'équation y'' = y a pour solutions générales A × cosh(x) + B × sinh(x).

(Vs y'' = -y qui donne A × cos(x) + B × sin(x).)

Réseaux de neurones

tanh est utilisée comme fonction d'activation dans les réseaux de neurones (notamment LSTM). Avantage : bornée entre -1 et 1, dérivable partout, symétrique.

La sigmoïde σ(x) = 1/(1+e^(-x)) = (1 + tanh(x/2))/2 est une variante.

Comparaison trigonométrie circulaire vs hyperbolique

Pourquoi étudier les fonctions hyperboliques ?

Au programme officiel, principalement en spécialité mathématiques et en supérieur (CPGE, université). Elles apparaissent :

• Comme solutions d'équations différentielles
• En physique avancée (relativité, mécanique des milieux continus)
• En ingénierie (lignes électriques, structures suspendues)
• En statistiques (loi logistique)
• En machine learning (activations neuronales)

Sur la calculatrice scientifique

Beaucoup de calculatrices scientifiques (CASIO fx-991, TI-30XS) ont des touches dédiées :

• SHIFT + sin = sinh
• SHIFT + cos = cosh
• SHIFT + tan = tanh

Notre Calculatrice scientifique ne propose pas directement ces fonctions, mais on peut calculer via la définition :

• sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2
• cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

Conclusion

Les fonctions hyperboliques sont une extension élégante des fonctions trigonométriques, omniprésentes en physique avancée et en mathématiques supérieures. Maîtriser sinh, cosh, tanh et leurs propriétés (identité cosh² - sinh² = 1, dérivées) ouvre la porte à de nombreuses applications. Pour les calculs, utilisez une calculatrice scientifique physique avec touches dédiées ou calculez via la définition.