Fractions et nombres décimaux : conversions et opérations

Les fractions et nombres décimaux sont deux représentations différentes des mêmes nombres rationnels. 1/3 = 0,333... 2/5 = 0,4. Cet article explique les conversions entre les deux notations, présente les fractions irréductibles, les développements décimaux périodiques, et donne des astuces pour les calculs mentaux.

Définition d'une fraction

Une fraction est un nombre rationnel de la forme :

a / b où a et b sont des entiers, b ≠ 0

a = numérateur, b = dénominateur.

Exemples :

• 1/2 = 0,5
• 3/4 = 0,75
• 5/8 = 0,625
• -7/3 = -2,333...

Conversion fraction → décimal

Méthode : division du numérateur par le dénominateur.

Pour 3/4 : 3 ÷ 4 = 0,75.

Trois cas possibles :

1. Décimal limité (terminant)

Si le dénominateur réduit ne contient comme facteurs premiers que 2 et/ou 5.

• 1/4 = 0,25 (4 = 2²)
• 3/5 = 0,6
• 7/8 = 0,875 (8 = 2³)
• 11/20 = 0,55 (20 = 2² × 5)

2. Décimal périodique pur

Si le dénominateur réduit ne contient pas les facteurs 2 ou 5.

• 1/3 = 0,333... (période « 3 »)
• 2/7 = 0,285714 285714... (période « 285714 »)
• 1/11 = 0,0909...

3. Décimal périodique mixte

Si le dénominateur réduit contient à la fois 2 ou 5 ET d'autres facteurs.

• 1/6 = 0,1666... (6 = 2 × 3)
• 1/12 = 0,08333...

Conversion décimal → fraction

Décimaux limités

0,75 = 75/100 = 3/4 (simplification par 25).

Méthode : compter les chiffres après la virgule, écrire au-dessus de 10^n, simplifier.

Décimaux périodiques purs

0,333... = x. Multiplier par 10 : 10x = 3,333... = 3 + x. Donc 9x = 3, x = 3/9 = 1/3.

Généralisation : 0,abc abc abc... (période abc) = abc / 999.

Exemple : 0,142857142857... = 142857 / 999999 = 1/7.

Décimaux périodiques mixtes

0,1666... :

Soit x = 0,1666...

10x = 1,666... = 1 + 6/9 = 1 + 2/3 = 5/3

x = 1/6.

Les fractions irréductibles

Une fraction est irréductible si numérateur et dénominateur n'ont pas de diviseur commun (autre que 1). Soit :

PGCD(a, b) = 1

Pour rendre irréductible : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple : 12/18.

• PGCD(12, 18) = 6
• 12/18 = (12/6) / (18/6) = 2/3

L'algorithme d'Euclide pour le PGCD

Pour calculer PGCD(a, b) :

1. Si b = 0, le PGCD est a
2. Sinon, calculer le reste de a/b, soit r
3. Remplacer a par b et b par r
4. Répéter jusqu'à r = 0

Exemple PGCD(48, 18) :

• 48 = 2 × 18 + 12 → r = 12
• 18 = 1 × 12 + 6 → r = 6
• 12 = 2 × 6 + 0 → r = 0
• PGCD = 6 ✓

Opérations sur les fractions

Addition

a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d)

Mais mieux : mettre au même dénominateur (PPCM).

Exemple : 1/4 + 1/6.

• PPCM(4, 6) = 12
• 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12
• Somme : 3/12 + 2/12 = 5/12

Soustraction

Identique à l'addition mais avec soustraction des numérateurs.

Multiplication

a/b × c/d = (a×c) / (b×d)

Exemple : 2/3 × 4/5 = 8/15.

Astuce : simplifier avant de multiplier si possible.

Exemple : 6/7 × 14/15. On simplifie : 6/15 = 2/5 et 14/7 = 2. Résultat : 2/5 × 2 = 4/5.

Division

Diviser par une fraction = multiplier par l'inverse :

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

Exemple : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.

Fractions équivalentes

Deux fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre :

a/b = c/d ⟺ a × d = b × c (produit en croix)

Exemples :

• 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100 (tous = 0,5)
• 2/3 = 4/6 = 6/9 = 20/30

Comparaison de fractions

Méthode 1 : convertir en décimaux et comparer.

Méthode 2 : même dénominateur.

Comparer 3/7 et 4/9.

• 3/7 = 27/63
• 4/9 = 28/63
• 28 > 27, donc 4/9 > 3/7

Méthode 3 : produit en croix.

• 3 × 9 = 27
• 7 × 4 = 28
• 28 > 27, donc 4/9 > 3/7

Fractions remarquables à mémoriser

Pourquoi 1/3 ne donne pas de décimal limité ?

3 n'a aucun facteur 2 ou 5. En base 10 (= 2 × 5), seuls les dénominateurs avec des facteurs 2 et/ou 5 donnent des décimaux finis.

Conséquence : 1/3 en base 10 = 0,333... (infini). Mais en base 3 : 1/3 = 0,1 (exact).

Applications concrètes

Recettes de cuisine

Multiplier par 3/4 pour réduire les proportions.

Pour 200 g de farine × 3/4 = 150 g.

Géométrie

1/2 d'un cercle = demi-disque (aire = πr²/2).

1/3 d'un cône par rapport au cylindre de même base.

Musique

Rythmes en fractions : noire = 1/4, croche = 1/8, double-croche = 1/16.

Finance

Calcul de TVA : ajouter 1/5 (= 20 %) au prix HT.

Sur la calculatrice scientifique

Notre Calculatrice scientifique utilise des décimaux par défaut. Pour les fractions exactes :

• Saisir l'opération : 1/3 → résultat 0,333...
• Multiplier : 2/3 × 3/4 = 0,5 (= 1/2)

Pour des fractions exactes manipulées comme telles (sans conversion en décimal), utilisez une calculatrice scientifique physique (CASIO fx-991) ou un calcul formel (Wolfram, SymPy).

Notre calculatrice de fractions dédiée

Pour les opérations spécifiques sur fractions, voir notre calculatrice de fractions qui gère :

• Addition, soustraction, multiplication, division de fractions
• Simplification automatique
• Conversion fraction ↔ décimal ↔ pourcentage
• PGCD, PPCM

Conclusion

Fractions et décimaux sont deux faces d'une même médaille : représentations différentes des nombres rationnels. La maîtrise des conversions, de la simplification (PGCD), et des opérations sur fractions est essentielle au collège. Pour la suite des études, les décimaux dominent dans la pratique scientifique. Notre Calculatrice scientifique et notre calculatrice de fractions sont complémentaires selon vos besoins.