Géométrie analytique : équations de droites, cercles, paraboles

La géométrie analytique traduit les figures géométriques en équations. Une droite devient y = ax + b, un cercle (x - a)² + (y - b)² = r². Cet article présente les équations de droites, cercles, paraboles, ellipses, et les méthodes de calcul de distances, intersections, et angles dans le plan.

Le repère cartésien

Un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗) du plan permet d'associer à chaque point M ses coordonnées (x, y) :

• O : origine (0, 0)
• x : abscisse
• y : ordonnée

Distance entre deux points

Pour A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) :

AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

Conséquence directe du théorème de Pythagore.

Milieu d'un segment

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)

Équations de droites

Forme explicite (cartésienne) y = ax + b

Pour une droite non verticale :

• a : pente (coefficient directeur)
• b : ordonnée à l'origine

Si a > 0 : droite croissante.
Si a < 0 : décroissante.
Si a = 0 : horizontale (y = b).

Droite verticale

Forme : x = constante. Ne peut pas s'écrire y = ax + b.

Forme implicite ax + by + c = 0

Forme générale, inclut les droites verticales.

Pour passer de explicite à implicite : y = mx + p ⟺ -mx + y - p = 0.

Pente entre deux points

Pour A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) avec x_A ≠ x_B :

a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)

Exemple

A(1, 2), B(4, 8). Pente : (8-2)/(4-1) = 2.

Équation : y = 2x + b. En A : 2 = 2×1 + b → b = 0.

Donc y = 2x.

Droites parallèles et perpendiculaires

Parallèles

Deux droites de pentes a et a' sont parallèles ⟺ a = a'.

Perpendiculaires

Deux droites de pentes a et a' sont perpendiculaires ⟺ a × a' = -1.

Exemple : y = 2x est perpendiculaire à y = -x/2.

Distance d'un point à une droite

Pour une droite d'équation ax + by + c = 0 et un point M(x_M, y_M) :

d(M, droite) = |a × x_M + b × y_M + c| / √(a² + b²)

Exemple

Droite 3x - 4y + 5 = 0. Point M(2, 1).

d = |3×2 - 4×1 + 5| / √(9+16) = 7/5 = 1,4.

Intersection de deux droites

Résoudre le système des deux équations.

Exemple

y = 2x + 1 et y = -x + 4.

2x + 1 = -x + 4 → 3x = 3 → x = 1.

y = 2×1 + 1 = 3.

Intersection : (1, 3).

Trois cas possibles :

• Une solution unique : droites sécantes
• Aucune solution : droites parallèles distinctes
• Infinité de solutions : droites confondues

Équation d'un cercle

Cercle de centre I et rayon r

Pour I(a, b) et rayon r :

(x - a)² + (y - b)² = r²

Cercle centré sur l'origine de rayon r : x² + y² = r².

Forme développée

x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0

De la forme x² + y² + ax + by + c = 0.

Pour reconnaître un cercle :

• Centre : (-a/2, -b/2)
• Rayon : r = √(a²/4 + b²/4 - c) (si positif)

Exemple

x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0.

Centre : (2, -3). r² = 4 + 9 + 12 = 25, r = 5.

Position d'un point par rapport à un cercle

Soit C : (x-a)² + (y-b)² = r² et M(x_M, y_M) :

• Si (x_M - a)² + (y_M - b)² < r² : M est à l'intérieur
• = r² : M est sur le cercle
• > r² : M est à l'extérieur

Tangente à un cercle en un point

Pour un cercle de centre I(a, b) et un point P sur le cercle :

Pente de IP × Pente de la tangente = -1

Pour calculer la pente de IP : (y_P - b) / (x_P - a). La tangente a pour pente : -(x_P - a) / (y_P - b).

Intersection droite-cercle

Substituer l'équation de la droite dans celle du cercle.

Exemple

Cercle x² + y² = 25. Droite y = x + 1.

x² + (x+1)² = 25 → x² + x² + 2x + 1 = 25 → 2x² + 2x - 24 = 0 → x² + x - 12 = 0.

Δ = 1 + 48 = 49. x = (-1 ± 7)/2 = 3 ou -4.

Points d'intersection : (3, 4) et (-4, -3).

La parabole

Équation canonique :

y = ax² + bx + c

Paramètres :

• a : ouverture (vers le haut si a>0, vers le bas si a<0)
• Sommet : (-b/(2a), -Δ/(4a))
• Axe de symétrie : x = -b/(2a)

L'ellipse

Équation centrée :

x²/a² + y²/b² = 1

Où a et b sont les demi-grand et demi-petit axes.

Si a = b : c'est un cercle.

Excentricité

e = √(1 - b²/a²) (pour a > b), 0 ≤ e < 1.

• e = 0 : cercle
• e proche de 1 : ellipse très allongée

Application : orbites planétaires (lois de Kepler). Mercure a une excentricité de ~0,2 ; la Terre ~0,017 (presque circulaire).

L'hyperbole

Équation centrée :

x²/a² - y²/b² = 1

Deux branches symétriques, asymptotes y = ±(b/a)x.

Applications

Triangulation GPS

Le GPS utilise les distances à 3+ satellites pour localiser un point. Chaque distance définit une sphère ; les intersections donnent la position.

Coniques en mécanique céleste

Les trajectoires des corps célestes sont des coniques :

• Ellipse : orbite fermée (planètes)
• Parabole : trajectoire d'évasion juste
• Hyperbole : trajectoire d'évasion rapide

Architecture

Beaucoup de structures utilisent des courbes mathématiques :

• Voûte parabolique : Gateway Arch (St. Louis)
• Dôme elliptique : opéra de Sydney
• Câbles paraboliques : ponts suspendus

Le théorème de Thalès en coordonnées

Pour deux droites parallèles coupées par deux sécantes : rapport des longueurs conservé.

En coordonnées : si A, B, C, D, E, F alignés avec AD // BE // CF :

AB / BC = DE / EF

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en C, AB est l'hypoténuse :

AB² = AC² + BC²

Permet de calculer toute distance dans un plan repéré.

Sur la calculatrice

Notre Calculatrice scientifique permet :

• Calcul de distance : √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²)
• Pente : (y_B-y_A) / (x_B-x_A)
• Toutes les opérations algébriques nécessaires

Pour visualiser, voir notre calculatrice graphique 2D.

Conclusion

La géométrie analytique traduit la géométrie en algèbre, permettant des calculs précis et systématiques. Les équations de droites, cercles et coniques sont au programme du lycée et restent utiles partout dans les sciences. Pour visualiser ces courbes, utilisez notre tracker graphique 2D, et pour les calculs, notre Calculatrice scientifique.