Intégrales et primitives : théorème fondamental, techniques, applications

L'intégrale et la primitive sont les opérations inverses de la dérivation. L'intégrale calcule des aires, des volumes, des valeurs moyennes. Au programme de terminale et indispensable en sciences. Cet article présente le théorème fondamental de l'analyse, les primitives usuelles, les techniques d'intégration et donne des exemples concrets.

La primitive : opération inverse de la dérivée

Une primitive F de f est une fonction dérivable telle que :

F'(x) = f(x)

Si F est une primitive de f, alors F + C (avec C constante) est aussi une primitive. Toute fonction continue admet une infinité de primitives, qui diffèrent par une constante.

Primitives usuelles

L'intégrale définie

L'intégrale de f entre a et b est notée :

∫_a^b f(x) dx

Si F est une primitive de f :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

C'est le théorème fondamental de l'analyse.

Interprétation géométrique

L'intégrale ∫_a^b f(x) dx est l'aire algébrique sous la courbe de f, entre les verticales x = a et x = b et l'axe des abscisses.

Aires positives (au-dessus de l'axe) et négatives (en dessous) se compensent.

Exemple complet

Calculer ∫_0^2 x² dx.

Primitive de x² : x³/3.

∫_0^2 x² dx = [x³/3]_0^2 = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,67.

C'est l'aire sous la parabole y = x² entre x=0 et x=2.

Propriétés de l'intégrale

∫_a^b (f + g) dx = ∫_a^b f dx + ∫_a^b g dx

∫_a^b k × f dx = k × ∫_a^b f dx

∫_a^b f dx = -∫_b^a f dx

∫_a^c f dx = ∫_a^b f dx + ∫_b^c f dx (relation de Chasles)

∫_a^a f dx = 0

Techniques d'intégration

Intégration par substitution

Posons u = g(x). Alors :

∫ f(g(x)) × g'(x) dx = ∫ f(u) du

Exemple : ∫ 2x × cos(x²) dx.
Posons u = x², du = 2x dx.
∫ cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.

Intégration par parties

Si u et v sont dérivables :

∫ u × v' dx = u × v - ∫ u' × v dx

Aide-mémoire : « LIATE » (Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigo, Exponentielle) pour choisir u.

Exemple : ∫ x × e^x dx.
u = x, dv = e^x dx. Donc du = dx, v = e^x.
∫ x × e^x dx = x × e^x - ∫ e^x dx = x × e^x - e^x + C = (x-1) × e^x + C.

Décomposition en éléments simples

Pour intégrer une fraction rationnelle, on la décompose en somme de fractions simples.

Exemple : 1/(x²-1) = 1/((x-1)(x+1)) = (1/2) × [1/(x-1) - 1/(x+1)].

∫ 1/(x²-1) dx = (1/2) × ln|x-1| - (1/2) × ln|x+1| + C.

Aire entre deux courbes

Pour calculer l'aire entre les courbes y = f(x) et y = g(x) entre x = a et x = b (avec f ≥ g sur [a, b]) :

A = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Volume d'un solide de révolution

Si on fait tourner la courbe y = f(x) autour de l'axe des x entre a et b, le volume engendré est :

V = π × ∫_a^b f(x)² dx

Exemple : sphère

Volume d'une sphère de rayon R. On peut la voir comme la rotation de y = √(R² - x²) autour de l'axe des x entre -R et R.

V = π × ∫_{-R}^{R} (R² - x²) dx = π × [R²x - x³/3]_{-R}^{R} = π × (R³ × 2 - 2R³/3) = (4/3)πR³. ✓

Longueur d'une courbe

Pour la courbe y = f(x) entre a et b :

L = ∫_a^b √(1 + f'(x)²) dx

Valeur moyenne d'une fonction

Sur l'intervalle [a, b] :

moy(f) = (1/(b-a)) × ∫_a^b f(x) dx

Intégrales impropres

Intégrales sur un intervalle non borné (∞), ou intégrant une fonction non bornée.

Exemple : ∫_1^∞ 1/x² dx

∫_1^T 1/x² dx = [-1/x]_1^T = 1 - 1/T.

Quand T → ∞ : 1 - 0 = 1.

L'intégrale converge vers 1.

Exemple divergent : ∫_1^∞ 1/x dx

∫_1^T 1/x dx = ln(T).

Quand T → ∞ : ln(T) → +∞. L'intégrale diverge.

Théorème de la moyenne

Si f est continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b] tel que :

∫_a^b f(x) dx = f(c) × (b - a)

Une « valeur intermédiaire » peut représenter la valeur moyenne de la fonction.

Applications

Physique : travail d'une force

Si F(x) est la force à la position x, le travail entre a et b est :

W = ∫_a^b F(x) dx

Physique : centre de masse

Centre de masse x_G d'un objet de densité ρ(x) sur [a, b] :

x_G = ∫_a^b x × ρ(x) dx / ∫_a^b ρ(x) dx

Probabilités

Pour une variable aléatoire continue de densité f(x), la probabilité que X soit dans [a, b] est :

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

Espérance : E(X) = ∫_{-∞}^∞ x × f(x) dx.

Économie : surplus du consommateur

Aire entre la courbe de demande et la droite horizontale du prix.

Intégrales numériques

Quand on ne peut pas trouver une primitive explicite, on utilise des méthodes numériques :

Méthode des rectangles

Diviser [a, b] en n intervalles et approcher l'aire par des rectangles.

Méthode des trapèzes

Approche plus précise avec des trapèzes.

Méthode de Simpson

Encore plus précise avec des arcs de parabole. Souvent l'approche standard.

Notre calculatrice d'intégrales utilise Simpson pour des résultats précis.

Intégrales sans primitive explicite

Certaines intégrales n'ont pas de primitive exprimable avec des fonctions usuelles :

• ∫ e^(-x²) dx (fonction d'erreur, loi normale)
• ∫ sin(x)/x dx (sinus cardinal)
• ∫ 1/ln(x) dx

On définit alors de nouvelles fonctions (erf, Si, Li) pour les nommer.

Conclusion

L'intégrale unifie le calcul d'aires, de volumes, et de valeurs cumulées. C'est un outil extraordinairement puissant en sciences. Maîtriser les primitives usuelles et les techniques de base (substitution, parties) couvre 90 % des cas usuels au lycée et début du supérieur. Pour les cas plus complexes, utilisez notre calculatrice d'intégrales ou un logiciel de calcul formel.