Limites et continuité : définitions, techniques, théorèmes

Les limites et la continuité sont les fondations de l'analyse mathématique. Comprendre ce qui se passe quand une variable s'approche d'une valeur (ou de l'infini) permet d'aborder dérivées, intégrales, séries. Cet article présente les définitions, les techniques de calcul de limites, et la notion de continuité.

Définition intuitive d'une limite

« lim (x→a) f(x) = L » signifie que f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de L en prenant x suffisamment proche de a.

Exemple simple

lim (x→2) x² = 4. Plus x s'approche de 2, plus x² s'approche de 4.

Limites usuelles à connaître

Limites en a (réel)

Si f est continue en a, lim (x→a) f(x) = f(a). Substitution directe.

Limites à l'infini

• lim (x→∞) 1/x = 0
• lim (x→∞) x = +∞
• lim (x→∞) x^n = +∞ (n > 0)
• lim (x→∞) e^x = +∞
• lim (x→-∞) e^x = 0
• lim (x→∞) ln(x) = +∞
• lim (x→0+) ln(x) = -∞

Limites particulières

Pour x → 0 :

• lim sin(x)/x = 1 (très utile)
• lim (1 - cos(x))/x² = 1/2
• lim (e^x - 1)/x = 1
• lim ln(1 + x)/x = 1
• lim (1 + 1/n)^n = e (n→∞)

Formes indéterminées

Certaines situations ne se résolvent pas par substitution directe :

• 0/0
• ∞/∞
• ∞ - ∞
• 0 × ∞
• 1^∞
• 0^0
• ∞^0

Il faut alors lever l'indétermination par des techniques spécifiques.

Techniques pour lever les indéterminations

Factorisation

Exemple : lim (x→2) (x² - 4) / (x - 2).

Forme 0/0. Factoriser : (x² - 4) = (x-2)(x+2).
(x² - 4) / (x - 2) = x + 2. Limite : 4.

Multiplication par la quantité conjuguée

Exemple : lim (x→0) (√(1+x) - 1) / x.

Multiplier en haut et en bas par (√(1+x) + 1) :
(√(1+x) - 1)(√(1+x) + 1) = (1+x) - 1 = x.
Donc l'expression devient x / (x × (√(1+x) + 1)) = 1 / (√(1+x) + 1).
Limite quand x → 0 : 1/2.

Croissances comparées

À l'infini, certaines fonctions dominent les autres :

ln(x) << x^a << e^x

Où << signifie « négligeable devant ».

Exemples :

• lim (x→∞) ln(x) / x = 0
• lim (x→∞) x^n / e^x = 0 pour tout n
• lim (x→∞) e^x / x! = 0

Théorème de L'Hôpital

Pour les formes 0/0 ou ∞/∞ :

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

(sous certaines conditions de régularité)

Exemple : lim (x→0) sin(x)/x.
Forme 0/0. Appliquer L'Hôpital :
lim (x→0) cos(x) / 1 = 1.

Limites à gauche et à droite

Notation :

• lim (x→a⁻) f(x) : limite à gauche
• lim (x→a⁺) f(x) : limite à droite

Pour que la limite existe, les deux doivent être égales.

Exemple : f(x) = |x|/x

• x→0⁻ : f(x) = -1
• x→0⁺ : f(x) = 1
• Limite n'existe pas en 0

Continuité

Définition

f est continue en a si :

1. f(a) est définie
2. lim (x→a) f(x) existe
3. lim (x→a) f(x) = f(a)

Intuitivement : on peut tracer la courbe sans lever le crayon.

Continuité sur un intervalle

f est continue sur [a, b] si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Fonctions continues usuelles

Sont continues sur leur domaine :

• Polynômes (continus sur ℝ)
• Fonctions rationnelles (continues partout sauf aux zéros du dénominateur)
• e^x, ln(x), √x (sur leur domaine)
• sin, cos, tan (tan sauf π/2 + kπ)

Continuité par morceaux

Une fonction peut être continue sur des morceaux mais avoir des sauts.

Exemple : f(x) = 1 si x ≥ 0, -1 sinon (fonction signe). Saut en x = 0.

Théorèmes liés à la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors pour toute valeur k entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Conséquence : si f(a) × f(b) < 0, il existe une racine dans [a, b]. Base de la dichotomie.

Théorème des bornes

Une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] atteint un maximum et un minimum.

Asymptotes

Asymptote horizontale

y = L est asymptote horizontale si :

lim (x→±∞) f(x) = L

Asymptote verticale

x = a est asymptote verticale si :

lim (x→a) f(x) = ±∞

Asymptote oblique

y = ax + b est asymptote oblique si :

lim (x→±∞) [f(x) - (ax + b)] = 0

Avec a = lim (x→∞) f(x)/x et b = lim (x→∞) [f(x) - ax].

Discontinuités

Discontinuité de première espèce (saut)

Limites à gauche et à droite existent mais sont différentes.

Discontinuité de seconde espèce

Au moins une des limites n'existe pas (oscillation, divergence).

Discontinuité évitable

La limite existe mais f(a) n'est pas définie ou diffère de la limite. On peut « réparer » en redéfinissant f(a) = lim f(x).

Exemple : f(x) = sin(x)/x n'est pas définie en 0, mais sa limite y est 1. Redéfinir f(0) = 1 la rend continue.

Suites et limites

Une suite (u_n) converge vers L si :

lim (n→∞) u_n = L

Exemples :

• u_n = 1/n → 0
• u_n = (-1)^n → diverge (oscille entre -1 et 1)
• u_n = n → +∞
• u_n = (1 + 1/n)^n → e

Théorème de l'encadrement (squeeze)

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) pour x près de a, et si lim g = lim h = L, alors lim f = L.

Exemple : montrer lim (x→0) x × sin(1/x) = 0.
On a -|x| ≤ x × sin(1/x) ≤ |x|.
lim (-|x|) = lim |x| = 0. Donc lim x × sin(1/x) = 0 (alors que sin(1/x) seule n'a pas de limite en 0).

Calcul de limites sur calculatrice

Notre Calculatrice scientifique permet d'évaluer numériquement une fonction en un point proche de la limite.

Pour lim (x→0) sin(x)/x : calculer sin(0,001)/0,001 ≈ 0,99999... Confirme la limite 1.

Pour les limites symboliques exactes, utilisez notre calculatrice de limites dédiée.

Limites à l'infini : règles pratiques

Pour un polynôme : limite à ±∞ déterminée par le terme de plus haut degré.

Exemple : lim (x→∞) (3x³ - 5x² + 7) = lim 3x³ = +∞.

Pour une fraction rationnelle : comparer les degrés.

• Degré numérateur < dénominateur : limite 0
• Degré numérateur > dénominateur : limite ±∞
• Degrés égaux : limite = rapport des coefficients dominants

Conclusion

Les limites et la continuité sont les fondations conceptuelles de toute l'analyse. Maîtrisez les limites usuelles, les techniques de levée d'indétermination, et les croissances comparées. Le théorème des valeurs intermédiaires et celui de L'Hôpital sont des outils puissants à utiliser avec discernement. Pour les calculs de limites symboliques, voir notre calculatrice dédiée.