Logarithmes log et ln : définition, propriétés, applications concrètes

Les logarithmes (log et ln) sont l'inverse de l'exponentielle. Présents au programme de première et terminale, ils servent à résoudre les équations exponentielles, à mesurer les ordres de grandeur (Richter, décibels, pH) et à modéliser de nombreux phénomènes naturels. Cet article distingue log décimal et logarithme népérien, présente leurs propriétés essentielles et leurs applications.

Définition du logarithme

Le logarithme de base b d'un nombre x est l'exposant à donner à b pour obtenir x :

log_b(x) = y ⟺ b^y = x

Conditions : x > 0 et b > 0, b ≠ 1.

Exemples :

• log₁₀(100) = 2 (car 10² = 100)
• log₁₀(1 000 000) = 6
• log₂(8) = 3 (car 2³ = 8)
• log₂(1024) = 10

Les deux logarithmes courants

Logarithme décimal (base 10)

Noté log(x) ou log₁₀(x). Très utilisé en :

• Sciences naturelles (ordres de grandeur)
• Échelles de mesure (Richter, décibels, pH)
• Calculs commerciaux simples

Sur les calculatrices, la touche log renvoie log₁₀ par défaut.

Logarithme népérien (base e)

Noté ln(x) ou log_e(x), base e ≈ 2,71828. Privilégié en :

• Mathématiques pures (analyse, calcul différentiel)
• Physique théorique
• Statistiques et probabilités
• Économie (croissance continue)

Sur les calculatrices, la touche ln ou log peut désigner ln selon la convention.

Pourquoi le nombre e ?

Le nombre d'Euler e ≈ 2,71828... est défini par :

e = lim (n→∞) (1 + 1/n)^n

Sa propriété fondamentale : la dérivée de e^x est e^x. Aucune autre base n'a cette propriété élégante.

Conséquence : ln est la fonction logarithme la plus « naturelle » mathématiquement, d'où son nom.

Les propriétés essentielles des logarithmes

Valables pour toutes bases (notées simplement « log » ici) :

Logarithme d'un produit

log(a × b) = log(a) + log(b)

Exemple : log(100 × 1000) = log(100) + log(1000) = 2 + 3 = 5. Vérification : log(100 000) = 5. ✓

Logarithme d'un quotient

log(a / b) = log(a) - log(b)

Logarithme d'une puissance

log(a^n) = n × log(a)

Exemple : log(8) = log(2³) = 3 × log(2) ≈ 3 × 0,301 ≈ 0,903.

Logarithme de 1 et de la base

log(1) = 0 (toujours)

log_b(b) = 1

Changement de base

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)

Pour calculer log₂(50) avec une calculatrice qui n'a pas log₂ :
log₂(50) = ln(50) / ln(2) ≈ 3,912 / 0,693 ≈ 5,644.

Résolution d'équations exponentielles

Pour résoudre 2^x = 100 :

1. Appliquer ln des deux côtés : ln(2^x) = ln(100)
2. Utiliser la propriété : x × ln(2) = ln(100)
3. Isoler x : x = ln(100) / ln(2) ≈ 4,605 / 0,693 ≈ 6,644

Vérification : 2^6,644 ≈ 100. ✓

L'échelle logarithmique : applications

Échelle de Richter (séismes)

Magnitude logarithmique. Un séisme de magnitude 7 libère 10× plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 6, et 100× plus qu'un séisme de magnitude 5.

Formule simplifiée : Magnitude = log(Énergie / Énergie référence).

Décibels (acoustique)

Mesure logarithmique du niveau sonore :

dB = 10 × log(Intensité / Intensité référence)

Conséquence : passer de 60 à 70 dB = ×10 d'intensité physique, mais perception de seulement « 2× plus fort » par l'oreille humaine (qui est logarithmique).

pH (chimie)

pH = -log([H⁺])

Une solution à pH 3 est 10× plus acide qu'une solution à pH 4, et 100× plus qu'à pH 5.

Magnitude apparente des étoiles

Plus la magnitude est faible, plus l'étoile est brillante. Échelle logarithmique : magnitude 0 = 2,512× plus brillante que magnitude 1.

Croissance et décroissance exponentielles

Croissance exponentielle

Population, capital, virus : N(t) = N₀ × e^(rt)

Le logarithme permet de résoudre le temps de doublement :

Temps de doublement = ln(2) / r ≈ 0,693 / r

C'est la base de la « règle de 72 » en finance : à 7 % de croissance, doublement en 72/7 ≈ 10,3 ans.

Décroissance exponentielle

Radioactivité, refroidissement : N(t) = N₀ × e^(-λt)

Demi-vie radioactive :

T_demi = ln(2) / λ

Utilisation sur la calculatrice scientifique

Sur notre Calculatrice scientifique :

• Touche log : log₁₀ (logarithme décimal)
• Touche ln : log_e (logarithme népérien)
• Touche e^x ou exp : exponentielle

Pour calculer log(10 000) : log(10000) = = → 4.

Les fonctions inverses : exp(x) et 10^x

Si ln et log sont des fonctions, leurs inverses sont l'exponentielle :

e^(ln(x)) = x

10^(log(x)) = x

Pour x = 5 : ln(5) ≈ 1,609 → e^1,609 ≈ 5. ✓

Les pièges classiques

log(0) et log(-x) sont indéfinis

Le logarithme n'est défini que pour x > 0. Saisir log(0) donne ERROR ou -∞.

Confusion log et ln

Selon la calculatrice ou le contexte, « log » peut signifier log₁₀ ou ln. Sur les graphiques de Maths Sup, « log » = log₁₀, « ln » = log népérien.

Erreur de propriété

log(a + b) ≠ log(a) + log(b). C'est log(a × b) qui se simplifie. Erreur très fréquente.

Histoire et utilité historique

Les logarithmes ont été inventés au XVII^e siècle par John Napier (d'où « napier-ien », ou népérien) pour simplifier les multiplications complexes. Avant les calculatrices, multiplier 12 487 × 38 219 prenait 15 minutes. Avec les tables de logarithmes : 30 secondes.

Méthode :

1. Chercher log(12 487) ≈ 4,096
2. Chercher log(38 219) ≈ 4,582
3. Additionner : 4,096 + 4,582 = 8,678
4. Antilogarithme : 10^8,678 ≈ 4,77 × 10^8 (résultat approché)

Les calculs astronomiques de Kepler, Newton, Euler étaient impossibles sans logarithmes.

Applications en informatique

Le log apparaît dans l'analyse de complexité d'algorithmes :

• Recherche binaire : O(log n)
• Tri rapide (cas moyen) : O(n log n)
• Algorithmes de division et conquête

Pourquoi ? Parce qu'à chaque étape, on divise par 2, ce qui se reflète mathématiquement en log₂.

Conclusion

Les logarithmes (log et ln) sont des outils mathématiques essentiels : ils transforment les multiplications en additions, mesurent les ordres de grandeur, et apparaissent dans toutes les sciences (physique, chimie, biologie, économie, informatique). Maîtriser leurs propriétés permet de résoudre élégamment les équations exponentielles. Notre Calculatrice scientifique dispose des touches dédiées log et ln.