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Nombres complexes : forme algébrique, polaire, module, argument

Les nombres complexes étendent les réels en introduisant l'unité imaginaire i = √-1. Au programme de terminale spécialité et obligatoires en prépa, ils permettent de résoudre toutes les équations polynomiales, de modéliser les circuits électriques et les ondes. Cet article présente la forme algébrique a+bi, la forme polaire r·e^(iθ), le module, l'argument et les applications.

L'unité imaginaire i

Par définition :

i² = -1

Conséquences :

Forme algébrique d'un complexe

Un nombre complexe s'écrit :

z = a + bi

Avec a, b ∈ ℝ. On appelle :

Exemples :

Représentation géométrique : le plan complexe

Chaque complexe z = a + bi est représenté par le point M(a, b) dans un plan à deux dimensions :

Cette représentation est appelée plan d'Argand-Cauchy ou plan complexe (ℂ).

Opérations sur les complexes

Addition

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Géométriquement : addition vectorielle (loi du parallélogramme).

Multiplication

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²

= (ac - bd) + (ad + bc)i (car i² = -1)

Exemple

(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i² = 2 - i + 6 = 8 - i

Conjugué

Le conjugué de z = a + bi est :

z̄ = a - bi

Propriétés :

Division

Pour diviser, on multiplie par le conjugué du dénominateur :

(a+bi) / (c+di) = (a+bi)(c-di) / (c²+d²)

Exemple : (3+2i)/(1-i) = (3+2i)(1+i)/(1+1) = (3+3i+2i+2i²)/2 = (1+5i)/2.

Le module |z|

Distance entre le point M(a, b) et l'origine :

|z| = √(a² + b²)

Exemples :

Propriétés du module

L'argument arg(z)

Angle (en radians) que fait le vecteur OM avec l'axe horizontal :

arg(z) = θ tel que cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z|

Défini modulo 2π. On choisit souvent θ ∈ ]-π, π] (argument principal).

Calcul pratique

Pour z = a + bi :

Exemples

Forme trigonométrique

Tout complexe z ≠ 0 peut s'écrire :

z = |z| × (cos θ + i sin θ)

où θ = arg(z).

Exemple : z = 3 + 4i

Forme exponentielle

Grâce à la formule d'Euler :

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

On peut écrire :

z = |z| × e^(iθ) = r × e^(iθ)

Avec r = |z| et θ = arg(z).

L'identité d'Euler (la plus belle formule mathématique)

Pour θ = π :

e^(iπ) + 1 = 0

Relie cinq constantes fondamentales (e, i, π, 1, 0).

Multiplication en forme polaire

Avantage majeur de la forme polaire :

z × z' = r × r' × e^(i(θ+θ'))

Multiplier deux complexes = multiplier les modules ET additionner les arguments.

Pour diviser :

z / z' = (r/r') × e^(i(θ-θ'))

Puissances et racines

Formule de Moivre

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

Ou en forme exponentielle : (e^(iθ))^n = e^(inθ).

Exemple

(1+i)¹⁰ : on convertit en polaire d'abord.

Racines n-ièmes

Les n racines n-ièmes de z = r × e^(iθ) sont :

z_k = r^(1/n) × e^(i(θ + 2kπ)/n), pour k = 0, 1, ..., n-1

Elles se répartissent uniformément sur un cercle de rayon r^(1/n).

Exemple : racines cubiques de l'unité

z³ = 1 :

Sommet d'un triangle équilatéral sur le cercle unité.

Théorème fondamental de l'algèbre

Tout polynôme P(x) de degré n à coefficients complexes possède exactement n racines complexes (en comptant les multiplicités).

Conséquence : dans ℂ, on peut toujours factoriser un polynôme :

P(x) = a × (x - z_1)(x - z_2)...(x - z_n)

Applications

Électricité

Les circuits en courant alternatif utilisent les complexes (notés j pour ne pas confondre avec l'intensité) :

Mécanique des vibrations

Les oscillateurs harmoniques sont modélisés par e^(iωt). La partie réelle représente le mouvement physique.

Traitement du signal

La transformée de Fourier repose entièrement sur les exponentielles complexes :

F(ω) = ∫ f(t) × e^(-iωt) dt

Au cœur du JPEG, MP3, traitement audio et image.

Mécanique quantique

Les fonctions d'onde sont à valeurs complexes. La probabilité est le module au carré : |ψ|².

Géométrie

Les rotations dans le plan se représentent par multiplication par e^(iθ). Élégant et concis vs matrices 2×2.

Résolution d'équations dans les complexes

Équation du second degré avec Δ < 0

x² + 1 = 0 : pas de solution réelle, mais x = ±i dans ℂ.

x² + x + 1 = 0 :

Équations polynomiales

z⁴ = 1 : 4 solutions : ±1, ±i.

z⁶ = 1 : 6 solutions formant un hexagone régulier sur le cercle unité.

Inégalité triangulaire et géométrie

Pour z, z' complexes :

|z + z'| ≤ |z| + |z'|

Égalité si z et z' sont colinéaires de même sens.

Interprétation géométrique : dans un triangle de sommets 0, z, z+z', la longueur d'un côté est inférieure à la somme des deux autres.

Transformations géométriques en complexes

Translation

z → z + a : translation de vecteur a.

Rotation

z → e^(iθ) × z : rotation d'angle θ autour de l'origine.

Homothétie

z → k × z (k réel) : homothétie de centre O et rapport k.

Similitude directe

z → a × z + b (a, b complexes) : combine rotation, homothétie et translation. Forme la plus générale en géométrie complexe.

Calcul sur la calculatrice scientifique

Notre Calculatrice scientifique ne gère pas directement les complexes (math.js de base). Pour ces calculs, utilisez notre calculatrice de nombres complexes dédiée qui propose :

Erreurs classiques

1. Oublier que i² = -1

Erreur la plus fréquente lors du développement.

2. Division sans conjugué

Pour diviser, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

3. Argument modulo 2π

arg(z) est défini modulo 2π. Toujours préciser dans quel intervalle on travaille.

4. Module ne peut être négatif

|z| ≥ 0 toujours. Une erreur de signe est fréquente.

Conclusion

Les nombres complexes étendent puissamment l'arithmétique et l'algèbre. Au-delà de leur utilité pour résoudre toutes les équations polynomiales, ils sont fondamentaux en physique, électronique, traitement du signal et mathématiques avancées. La maîtrise des deux formes (algébrique et exponentielle) et de leurs propriétés est un saut conceptuel majeur en terminale spécialité. Pour les calculs complexes, utilisez notre calculatrice dédiée.

🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice scientifique — calcul instantané avec explication pas à pas.

L'équipe pédagogique de Facilcalcul.fr.
Mis à jour le 17 mai 2026.

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