Probabilités élémentaires : événements, Bayes, lois usuelles

Les probabilités sont au programme dès la classe de seconde et apparaissent partout : météo (chance de pluie), assurances, jeux, statistiques médicales. Cet article présente les concepts fondamentaux (événements, indépendance, probabilité conditionnelle, théorème de Bayes), les lois usuelles, et donne des exemples concrets.

Définition d'une probabilité

Une probabilité est une mesure d'incertitude entre 0 (impossible) et 1 (certain). Souvent exprimée en pourcentage.

Pour une expérience à issues équiprobables :

P(événement) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

Exemple : lancer un dé à 6 faces

• P(obtenir 4) = 1/6
• P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2
• P(obtenir > 4) = 2/6 = 1/3 (les 5 et 6)

Vocabulaire des probabilités

Univers Ω

Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Lancer une pièce : Ω = {pile, face}.
Lancer un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Événement

Sous-ensemble de Ω. Un événement « se réalise » si l'issue de l'expérience appartient à cet ensemble.

Lancer un dé, événement « pair » : A = {2, 4, 6}.

Événement contraire

Événement complémentaire, noté Ā ou A̅.

P(Ā) = 1 - P(A)

P(obtenir un 6) = 1/6. P(ne pas obtenir un 6) = 5/6.

Probabilité de l'union et de l'intersection

Union (« ou »)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Exemple : lancer un dé.

• A = « pair » : P(A) = 1/2
• B = « > 4 » : P(B) = 1/3
• A ∩ B = {6} : P(A ∩ B) = 1/6
• P(A ∪ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Événements incompatibles

Si A et B ne peuvent pas se réaliser en même temps : P(A ∩ B) = 0. Alors :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Probabilité conditionnelle

Définition

Probabilité de A sachant que B est réalisé :

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), si P(B) ≠ 0

Lu : « probabilité de A sachant B ».

Exemple : tirage d'urne

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire 2 boules sans remise.

• P(1^re rouge) = 3/10
• P(2^e rouge | 1^re rouge) = 2/9 (2 rouges restantes sur 9 boules)
• P(2 rouges) = 3/10 × 2/9 = 6/90 = 1/15

Indépendance de deux événements

Deux événements A et B sont indépendants si :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Équivalent : P(A | B) = P(A) (la connaissance de B ne change pas la probabilité de A).

Exemple d'événements indépendants

Lancer deux dés. La face du premier ne dépend pas de la face du second. Les deux événements sont indépendants.

P(premier dé = 6 ET deuxième dé = 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Exemple d'événements non indépendants

Tirage sans remise dans une urne. Le résultat du premier tirage modifie la composition pour le second.

Le théorème de Bayes

Reformulation de la probabilité conditionnelle :

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)

Permet de « renverser » le conditionnement. Application majeure : tests médicaux, intelligence artificielle, statistiques inférentielles.

Exemple : test médical

Une maladie touche 1 % de la population. Un test :

• P(test positif | malade) = 99 % (sensibilité)
• P(test négatif | sain) = 99 % (spécificité)

Une personne testée positive. Probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Intuition : 99 %. Réalité avec Bayes :

• P(test+) = P(test+ | malade) × P(malade) + P(test+ | sain) × P(sain)
• = 0,99 × 0,01 + 0,01 × 0,99 = 0,0198
• P(malade | test+) = 0,99 × 0,01 / 0,0198 = 0,5 (50 %)

Conséquence : malgré un test à 99 % de précision, sur un test positif, vous n'avez qu'une chance sur deux d'être malade. C'est le « paradoxe » des tests pour maladies rares.

Loi binomiale

Pour n expériences indépendantes (« tirages »), chacune avec probabilité de succès p :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Où C(n, k) = combinaisons.

Exemple : 10 lancers de pièce

Probabilité d'obtenir exactement 6 piles ?

• n = 10, p = 0,5, k = 6
• P(X=6) = C(10,6) × 0,5⁶ × 0,5⁴ = 210 × 0,5¹⁰ ≈ 0,205

Soit environ 20,5 % de chance.

Loi normale (gaussienne)

Pour des phénomènes continus, la loi normale a la forme d'une cloche centrée sur sa moyenne μ avec écart-type σ.

Règles pratiques (« 68-95-99,7 ») :

• ~68 % des valeurs entre μ - σ et μ + σ
• ~95 % entre μ - 2σ et μ + 2σ
• ~99,7 % entre μ - 3σ et μ + 3σ

Applications : tailles, QI, erreurs de mesure, retours boursiers (approximation).

Espérance et variance

Espérance

Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire X :

E(X) = Σ x_i × P(X = x_i)

Exemple : dé classique

E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = 21/6 = 3,5.

Variance et écart-type

Var(X) = E[(X - E(X))²]

σ(X) = √Var(X)

Mesure de la dispersion autour de la moyenne.

Loi des grands nombres

Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la moyenne empirique converge vers l'espérance théorique.

Exemple : 1 000 lancers de pièce. Proportion de piles → 0,5 (avec haute probabilité).

Conséquence pratique : on peut estimer des probabilités inconnues par observation répétée.

Le paradoxe de Monty Hall

Jeu télévisé : trois portes, une voiture derrière l'une, des chèvres derrière les deux autres.

1. Vous choisissez une porte (sans l'ouvrir)
2. L'animateur ouvre une autre porte révélant une chèvre
3. Il vous propose de changer de porte. Devez-vous accepter ?

Réponse contre-intuitive : OUI. En changeant, vous passez de 1/3 à 2/3 de chance de gagner.

Démonstration par Bayes ou par énumération : sur 3 scénarios initiaux, changer fait gagner dans 2 cas sur 3.

Probabilités au quotidien

Loto

6 numéros parmi 49. Probabilité de gagner :

P = 1 / C(49, 6) = 1 / 13 983 816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸

Soit environ 1 chance sur 14 millions. Vous avez plus de chance d'être frappé par la foudre dans l'année.

Paris sportifs

Pour qu'un pari soit « équitable », la probabilité × le gain doit être ≥ 1. En pratique, les bookmakers prélèvent ~5-10 % de marge.

Assurances

L'assureur calcule l'espérance de coût pour chaque profil, ajoute sa marge, et facture la prime. Les statistiques de l'IRD (Institut national de Recherche pour l'Aviation) montrent par exemple que P(décès en avion) ≈ 1 sur 11 millions par vol.

Pièges fréquents

Confusion P(A | B) et P(B | A)

« Si vous êtes malade, le test est positif à 99 % » ≠ « Si le test est positif, vous êtes malade à 99 % ». Bayes est nécessaire.

Conjonction

P(A et B) ≤ P(A). Erreur fréquente : juger une description spécifique plus probable qu'une description générale.

Gambler's fallacy

« 5 piles d'affilée, donc la prochaine sera face. » Faux : les tirages sont indépendants. Probabilité de la prochaine = 1/2.

Calculs sur la calculatrice scientifique

Notre Calculatrice scientifique offre :

• Factorielle n! (pour combinaisons)
• x^y (pour probabilités binomiales)
• Toutes les opérations algébriques nécessaires

Pour la loi binomiale : C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).

Conclusion

Les probabilités sont un outil indispensable pour comprendre l'incertitude. Maîtriser les concepts d'indépendance, de probabilité conditionnelle, et le théorème de Bayes permet d'aborder rationnellement les décisions en présence d'aléa. Les pièges intuitifs (Monty Hall, tests médicaux pour maladies rares) montrent l'importance de la rigueur. Notre Calculatrice scientifique permet les calculs nécessaires aux probabilités élémentaires.