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Séries numériques : convergence, Riemann, critères de comparaison

Une série numérique est la somme d'une infinité de termes : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 (convergente), mais 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞ (divergente). Cet article présente les critères de convergence (Riemann, comparaison, d'Alembert, Cauchy), les séries usuelles, et les applications en mathématiques et physique.

Définition d'une série

Une série de terme général u_n est la suite des sommes partielles :

S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n

Si S_n converge vers une limite S quand n → ∞, on dit que la série converge et :

Σ u_n = S

Sinon, la série diverge.

Condition nécessaire de convergence

Si Σ u_n converge, alors lim u_n = 0.

Attention : c'est une condition nécessaire mais pas suffisante. La série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + ... a u_n → 0 mais diverge.

Séries géométriques

Σ q^n :

Exemples

Séries de Riemann

Σ 1/n^α (pour n ≥ 1).

Cas particuliers célèbres

Série harmonique (α = 1) : diverge

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞.

Démonstration : 1/3 + 1/4 ≥ 1/4 + 1/4 = 1/2 ; 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ≥ 4 × 1/8 = 1/2 ; etc. On peut ajouter une infinité de « 1/2 », donc divergence.

α = 2 (problème de Bâle, résolu par Euler en 1735) :

Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1,6449

Résultat surprenant : π apparaît dans une série purement arithmétique.

α = 4 :

Σ 1/n⁴ = π⁴/90 ≈ 1,0823

Critères de convergence

Critère de comparaison

Si 0 ≤ u_n ≤ v_n pour tout n :

Critère d'équivalence

Si u_n ~ v_n (équivalent à l'infini) et v_n > 0, alors Σ u_n et Σ v_n sont de même nature.

Critère de d'Alembert (rapport)

Calculer L = lim |u_{n+1}/u_n|.

Très efficace pour les séries avec factorielles ou puissances.

Critère de Cauchy (racine)

Calculer L = lim (|u_n|)^(1/n).

Critère de l'intégrale

Si f est continue, décroissante, positive sur [N, ∞[ :

Σ f(n) et ∫_N^∞ f(x) dx ont même nature.

Critère des séries alternées (Leibniz)

Une série alternée Σ (-1)^n × u_n avec u_n > 0, décroissante, et u_n → 0, converge.

Exemples

Convergence absolue

Σ u_n converge absolument si Σ |u_n| converge.

La convergence absolue implique la convergence simple.

Une série qui converge mais pas absolument est dite semi-convergente (exemple : la série harmonique alternée).

Séries entières

Série de la forme Σ a_n × x^n.

Rayon de convergence R :

Calcul : 1/R = lim |a_{n+1}/a_n| ou lim (|a_n|)^(1/n).

Développements en séries des fonctions usuelles

Sur leur intervalle de convergence :

e^x = Σ x^n / n! pour tout x ∈ ℝ

sin(x) = Σ (-1)^n × x^(2n+1) / (2n+1)! pour tout x

cos(x) = Σ (-1)^n × x^(2n) / (2n)! pour tout x

1/(1-x) = Σ x^n pour |x| < 1

ln(1+x) = Σ (-1)^(n-1) × x^n / n pour -1 < x ≤ 1

arctan(x) = Σ (-1)^n × x^(2n+1) / (2n+1) pour |x| ≤ 1

Applications

Calcul approché de constantes

π via Leibniz : 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...).

Convergence très lente : 10 000 termes pour 4 décimales correctes.

Formules plus efficaces (Machin, Chudnovsky) utilisées pour les records de calcul de π.

Approximations dans les calculatrices

Les calculatrices calculent sin, cos, exp, etc. via leurs développements en séries (parfois optimisés CORDIC en circuits dédiés).

Mécanique quantique

Les fonctions d'onde s'expriment souvent comme séries de fonctions propres (séries de Fourier généralisées).

Traitement du signal

Décomposition en série de Fourier : tout signal périodique se décompose en somme de sinusoïdes.

Séries de Fourier

Pour une fonction périodique de période 2π :

f(x) = a_0/2 + Σ (a_n × cos(nx) + b_n × sin(nx))

Avec :

Permet d'analyser le contenu fréquentiel d'un signal. Base du JPEG, MP3, traitement audio.

Paradoxes des séries divergentes

Somme « ramanujesque » 1 + 2 + 3 + ... = -1/12

Bien que la série diverge classiquement, certaines régularisations donnent -1/12. Apparaît en physique théorique (effet Casimir, théorie des cordes).

Attention : ce n'est pas une « somme » au sens classique mais une valeur attribuée par régularisation analytique.

Paradoxe de Riemann (réarrangement)

Une série semi-convergente peut être réarrangée pour converger vers n'importe quelle valeur.

Exemple : la série harmonique alternée converge vers ln(2). En réordonnant ses termes, on peut la faire converger vers π, ou vers 0, ou diverger.

Conséquence : pour les séries semi-convergentes, l'ordre des termes importe !

Méthode pour étudier une série

  1. Vérifier la condition nécessaire (lim u_n = 0 ?)
  2. Identifier le type : géométrique, Riemann, alternée ?
  3. Appliquer le critère adapté :
    • Comparaison avec une série connue
    • D'Alembert si factorielles ou puissances
    • Cauchy si racines n-ièmes
    • Intégrale si terme général se prête à intégration
    • Leibniz si alternée
  4. Conclure : convergente, absolument convergente, semi-convergente ou divergente

Exemples résolus

Σ 1/(n × ln(n)) (n ≥ 2)

Critère de l'intégrale : f(x) = 1/(x × ln(x)).
∫ dx / (x × ln(x)) = ln(ln(x)) qui diverge en ∞.
La série diverge.

Σ n²/2^n

D'Alembert : u_{n+1}/u_n = ((n+1)²/2^(n+1)) / (n²/2^n) = (n+1)²/(2n²) → 1/2 < 1.
La série converge.

Σ (-1)^n × ln(n)/n

u_n = ln(n)/n. Série alternée. u_n > 0, décroît à partir de n = e ≈ 3, lim u_n = 0.
Par Leibniz : converge.

Conclusion

Les séries numériques sont un outil sophistiqué de l'analyse mathématique, indispensable en mathématiques supérieures, physique et ingénierie. Maîtriser les critères de convergence (Riemann, comparaison, d'Alembert, Cauchy, Leibniz) permet d'aborder n'importe quelle série usuelle. Les développements en séries entières sont la base de nombreux calculs numériques et théoriques. Pour les calculs spécifiques, utilisez nos calculatrices dédiées.

🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice scientifique — calcul instantané avec explication pas à pas.

L'équipe pédagogique de Facilcalcul.fr.
Mis à jour le 17 mai 2026.

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