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Statistiques descriptives : moyenne, médiane, écart-type, quartiles

Les statistiques descriptives résument une série de données par quelques indicateurs : moyenne, médiane, écart-type, quartiles. Indispensables pour interpréter sondages, résultats scolaires, séries économiques. Cet article présente les principaux indicateurs, leur calcul et leur interprétation, avec exemples concrets.

Vocabulaire de base

Une série statistique est un ensemble de valeurs numériques (les observations).

Notation : x₁, x₂, ..., x_n (n valeurs).

Exemple : notes obtenues par 8 élèves : [12, 14, 8, 16, 11, 13, 15, 10].

La moyenne

Indicateur central le plus connu :

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

Pour notre exemple : (12+14+8+16+11+13+15+10) / 8 = 99 / 8 = 12,375.

Moyenne pondérée

Si chaque valeur a un poids w_i :

x̄ = (Σ w_i × x_i) / (Σ w_i)

Utilisée pour les notes scolaires avec coefficients.

La médiane

Valeur qui sépare la série en deux moitiés égales (autant de valeurs au-dessus que en dessous).

Méthode

  1. Trier les valeurs par ordre croissant
  2. Si n impair : médiane = valeur centrale (rang (n+1)/2)
  3. Si n pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales (rangs n/2 et n/2+1)

Exemple

Notes triées : [8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] (n=8 pair).

Médiane = (12 + 13) / 2 = 12,5.

Moyenne vs médiane : quand utiliser quoi ?

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane est plus robuste.

Exemple éclairant

Salaires de 5 personnes dans une entreprise : [1 800, 2 000, 2 200, 2 400, 50 000].

La médiane reflète mieux la situation typique. La moyenne est tirée vers le haut par le PDG à 50 000 €.

Conseil : pour les salaires, prix de l'immobilier, ou toute distribution asymétrique, privilégier la médiane.

Le mode

Valeur la plus fréquente dans la série.

Exemple : [4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10]. Mode = 9 (apparaît 3 fois).

Une série peut avoir :

Étendue, quartiles et écart interquartile

Étendue

Différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

Exemple : [8, 10, ..., 16]. Étendue = 16 - 8 = 8.

Quartiles

Q1, Q2 (= médiane), Q3 divisent la série en 4 parties égales.

Méthode de calcul (convention française)

Pour Q1 : rang ≥ n/4, prendre la première valeur après ce rang.
Pour Q3 : rang ≥ 3n/4.

Exemple : 8 notes

[8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]

Écart interquartile (IQR)

IQR = Q3 - Q1 = 14 - 10 = 4.

Mesure de dispersion robuste (50 % des valeurs centrales).

La variance et l'écart-type

Variance

Moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

V = (1/n) × Σ (x_i - x̄)²

Pour notre série :

Écart-type σ

Racine carrée de la variance :

σ = √V

Pour notre série : σ = √6,11 ≈ 2,47.

Avantage : même unité que les données originales (notes ici).

Interprétation

L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne. Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Variance d'échantillon vs population

Distinction subtile :

En Excel : VAR.P (population), VAR.S (échantillon).

La règle des 68-95-99,7

Pour une distribution normale (cloche de Gauss) :

Au-delà de 3σ : valeur « aberrante » statistiquement.

Coefficient de variation

Pour comparer la dispersion de deux séries d'échelles différentes :

CV = σ / x̄ × 100 %

Exemple : note moyenne 12 (σ=2) vs salaire moyen 30 000 € (σ=5 000).

Dispersion relative similaire malgré des échelles très différentes.

Boîte à moustaches (boxplot)

Représentation graphique synthétique d'une série :

Histogramme

Découper l'intervalle des valeurs en classes (intervalles égaux), compter le nombre d'occurrences dans chaque classe.

Permet de visualiser la distribution :

Corrélation et coefficient de Pearson

Pour deux séries (X, Y) :

r = Σ((x_i - x̄)(y_i - ȳ)) / √(Σ(x_i - x̄)² × Σ(y_i - ȳ)²)

r ∈ [-1, 1] :

Exemple

Notes en maths et en physique d'élèves : r ≈ 0,8. Forte corrélation positive — un bon élève en maths est généralement bon en physique.

Attention

Corrélation n'implique pas causalité. Deux variables corrélées peuvent dépendre d'un facteur commun (« variable confondante »).

Régression linéaire

Trouver la droite y = ax + b qui ajuste au mieux les données.

Méthode des moindres carrés : minimiser Σ(y_i - (a × x_i + b))².

Solution :

a = Σ((x_i - x̄)(y_i - ȳ)) / Σ(x_i - x̄)²

b = ȳ - a × x̄

R² = r² indique la part de variance expliquée par le modèle linéaire.

Applications

Sondages

Intervalle de confiance à 95 % :

IC = x̄ ± 1,96 × σ / √n

Pour un échantillon de 1 000 personnes, marge d'erreur typique : ±3 points de pourcentage.

Bourse

L'écart-type des rendements quotidiens mesure la volatilité d'une action ou d'un fonds.

Médecine

Comparaison d'un traitement vs placebo : tests statistiques basés sur moyennes et écarts-types.

Calculs sur la calculatrice

Pour calculer rapidement :

Notre Calculatrice scientifique permet ces calculs. Notre calculatrice de moyenne automatise les indicateurs principaux.

Conclusion

Les statistiques descriptives sont essentielles pour résumer et comparer des séries de données. Maîtriser moyenne, médiane, écart-type, et savoir choisir l'indicateur adapté à chaque situation (médiane pour les distributions asymétriques) est une compétence cruciale en sciences expérimentales, économie et data science. Pour les calculs, utilisez nos outils dédiés.

🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice scientifique — calcul instantané avec explication pas à pas.

L'équipe pédagogique de Facilcalcul.fr.
Mis à jour le 17 mai 2026.

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