Trigonométrie : sinus, cosinus, tangente — valeurs remarquables et formules

Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) sont au cœur du programme de mathématiques du collège au supérieur. Cet article explique leur définition géométrique, présente les valeurs remarquables à connaître par cœur (0°, 30°, 45°, 60°, 90°), détaille les formules d'addition, et donne des exemples concrets d'utilisation avec une calculatrice scientifique.

Définition géométrique des fonctions trigonométriques

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :

sin(α) = côté opposé / hypoténuse

cos(α) = côté adjacent / hypoténuse

tan(α) = côté opposé / côté adjacent = sin(α) / cos(α)

Sur le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 centré sur l'origine), pour tout angle α :

• cos(α) = abscisse du point sur le cercle
• sin(α) = ordonnée du point

Cette définition s'étend à tout angle (positif, négatif, > 360°), contrairement à la définition du triangle rectangle limitée aux angles aigus.

Les valeurs remarquables à mémoriser

À connaître par cœur dès la classe de seconde :

Astuce mnémotechnique : la « main des sinus »

Ouvrez la paume de votre main gauche :

• Pouce vers le bas : 0°
• Index : 30°
• Majeur : 45°
• Annulaire : 60°
• Auriculaire : 90°

Pour sin(angle) : √(numéro du doigt) / 2. Pour cos(angle) : √(4 − numéro) / 2.

sin(30°) = √1 / 2 = 1/2. sin(45°) = √2/2. sin(60°) = √3/2. sin(90°) = √4/2 = 1.

Les modes degrés vs radians sur la calculatrice

Avant tout calcul trigonométrique, vérifiez le mode de votre calculatrice :

• DEG (degrés) : pour les exercices scolaires usuels et la géométrie pratique
• RAD (radians) : pour les mathématiques supérieures, la physique, la programmation
• GRAD (grades) : rare, utilisé en topographie (cercle = 400 gons)

Notre Calculatrice scientifique propose un sélecteur en haut de l'écran pour basculer entre les modes.

Les relations trigonométriques fondamentales

Relation pythagoricienne

sin²(α) + cos²(α) = 1

Conséquence directe du théorème de Pythagore sur le cercle trigonométrique de rayon 1.

Relations de symétrie

sin(-α) = -sin(α) (impaire)

cos(-α) = cos(α) (paire)

tan(-α) = -tan(α) (impaire)

Relations de périodicité

sin(α + 2π) = sin(α), période 2π

cos(α + 2π) = cos(α), période 2π

tan(α + π) = tan(α), période π

Angles supplémentaires (somme = π)

sin(π - α) = sin(α)

cos(π - α) = -cos(α)

Les formules d'addition (lycée terminale)

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))

Et avec b = a (formules de duplication) :

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 1 - 2sin²(a) = 2cos²(a) - 1

Les fonctions trigonométriques inverses

Notées arcsin, arccos, arctan (ou sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Elles « remontent » de la valeur à l'angle.

Domaines de définition

• arcsin(x) : x ∈ [-1, 1], résultat ∈ [-π/2, π/2]
• arccos(x) : x ∈ [-1, 1], résultat ∈ [0, π]
• arctan(x) : x ∈ ℝ, résultat ∈ ]-π/2, π/2[

Si vous demandez arcsin(2) à votre calculatrice : ERROR. Car le sinus n'atteint jamais 2.

Exemples concrets d'utilisation

Calcul d'une hauteur (géométrie)

Un arbre projette une ombre de 12 m. L'angle entre le sol et le sommet de l'arbre vu depuis le bout de l'ombre est de 35°. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

• tan(35°) = hauteur / 12
• Calculatrice en mode DEG : tan(35°) ≈ 0,7002
• Hauteur = 12 × 0,7002 ≈ 8,40 m

Distance d'un bateau (navigation)

Depuis un phare de 80 m de haut, on observe un bateau sous un angle de dépression de 5° par rapport à l'horizontale. À quelle distance se trouve le bateau ?

• tan(5°) = 80 / distance
• tan(5°) ≈ 0,0875
• Distance = 80 / 0,0875 ≈ 914 m

Résolution d'une équation trigonométrique

Trouver α tel que sin(α) = 0,7 dans [0, 2π].

• α₁ = arcsin(0,7) ≈ 0,775 rad (44,4°)
• α₂ = π - α₁ ≈ 2,367 rad (135,6°) (angle supplémentaire avec même sinus)

Forme rectangulaire vers polaire

Un vecteur de coordonnées (3, 4). Quel est son module et son angle ?

• Module : √(3² + 4²) = √25 = 5
• Angle : arctan(4/3) ≈ 53,13°

Utilisation de la calculatrice scientifique

Sur notre Calculatrice scientifique :

1. Choisir le mode (DEG ou RAD) en haut
2. Cliquer sur sin, cos ou tan
3. Saisir la valeur entre parenthèses (la parenthèse ouvrante est ajoutée automatiquement)
4. Fermer avec )
5. Appuyer sur =

Pour sin(30°) en mode DEG : sin(30) = = → 0,5.

Les pièges classiques

Confusion DEG / RAD

sin(30) en DEG = 0,5. En RAD = -0,988. Erreur d'un facteur ~2. Toujours vérifier le mode.

Tan(90°) : indéfini

Diviser par zéro (cos(90°) = 0) n'est pas défini. La calculatrice renvoie ERROR ou ∞.

Petites angles : approximations

Pour α très petit (proche de 0), en radians :

• sin(α) ≈ α
• cos(α) ≈ 1 - α²/2
• tan(α) ≈ α

Utile en physique pour les calculs approchés (pendule, optique).

L'identité d'Euler

La formule la plus célèbre des mathématiques :

e^(iπ) + 1 = 0

Cas particulier de la formule d'Euler générale :

e^(iα) = cos(α) + i sin(α)

Cette formule unifie les fonctions trigonométriques et l'exponentielle complexe. Au cœur de l'analyse complexe.

Conclusion

La maîtrise des fonctions trigonométriques est essentielle dès la classe de seconde et reste utilisée dans toutes les sciences appliquées (physique, ingénierie, informatique). Mémorisez les valeurs remarquables aux angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, et choisissez systématiquement le bon mode (DEG ou RAD) avant tout calcul. Notre Calculatrice scientifique couvre toutes les fonctions trigonométriques directes et inverses.