Vecteurs et produit scalaire : norme, angle, projection, travail

Les vecteurs représentent des grandeurs orientées (direction + magnitude) : déplacement, force, vitesse. Le produit scalaire est l'opération fondamentale pour calculer angles, projections et travaux. Cet article présente les vecteurs en 2D et 3D, leurs opérations, le produit scalaire, et les applications en physique et géométrie.

Définition d'un vecteur

Un vecteur est défini par :

• Une direction
• Un sens
• Une norme (longueur)

Notation : v⃗ ou v (gras), parfois AB⃗ pour le vecteur de A vers B.

Représentation : flèche dont le point de départ est l'origine et la pointe indique le sens.

Composantes d'un vecteur

En 2D

v⃗ = (x, y) avec x = composante horizontale, y = composante verticale.

Exemple : v⃗ = (3, 4) signifie « 3 vers la droite, 4 vers le haut ».

En 3D

v⃗ = (x, y, z) avec z = composante en profondeur.

De A à B

Si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors :

AB⃗ = (x_B - x_A, y_B - y_A)

Norme d'un vecteur

La norme (ou longueur) d'un vecteur v⃗ = (x, y) :

||v⃗|| = √(x² + y²)

En 3D : ||v⃗|| = √(x² + y² + z²).

Exemple : v⃗ = (3, 4). ||v⃗|| = √(9 + 16) = 5.

Opérations sur les vecteurs

Addition

v⃗ + w⃗ = (v_x + w_x, v_y + w_y)

Géométriquement : règle du parallélogramme ou bout-à-bout.

Soustraction

v⃗ - w⃗ = (v_x - w_x, v_y - w_y)

Multiplication par un scalaire

k × v⃗ = (k × v_x, k × v_y)

Multiplie la norme par |k|. Inverse le sens si k < 0.

Vecteur unitaire

Vecteur de norme 1. Pour obtenir le vecteur unitaire u⃗ correspondant à v⃗ :

u⃗ = v⃗ / ||v⃗||

Le produit scalaire

Pour deux vecteurs u⃗ = (u_x, u_y) et v⃗ = (v_x, v_y) :

u⃗ · v⃗ = u_x × v_x + u_y × v_y

En 3D : u⃗ · v⃗ = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.

Résultat : un nombre réel (scalaire), pas un vecteur.

Formule géométrique

Si θ est l'angle entre u⃗ et v⃗ :

u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ)

Cette formule permet de calculer l'angle entre deux vecteurs :

cos(θ) = u⃗ · v⃗ / (||u⃗|| × ||v⃗||)

Exemple chiffré

u⃗ = (3, 4), v⃗ = (1, 2).

• u⃗ · v⃗ = 3 × 1 + 4 × 2 = 11
• ||u⃗|| = 5, ||v⃗|| = √5
• cos(θ) = 11 / (5√5) ≈ 0,984
• θ ≈ 10,3°

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si :

u⃗ · v⃗ = 0

Car cos(90°) = 0.

Exemple

u⃗ = (1, 2) et v⃗ = (2, -1).

u⃗ · v⃗ = 1×2 + 2×(-1) = 0. ✓ Orthogonaux.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si :

• v⃗ = k × u⃗ pour un certain k réel
• Ou en 2D : u_x × v_y - u_y × v_x = 0 (déterminant nul)

Exemple

u⃗ = (2, 3) et v⃗ = (4, 6) : v⃗ = 2 × u⃗. Colinéaires.

Projection orthogonale

Projection de v⃗ sur la direction de u⃗ :

proj_u(v⃗) = (u⃗ · v⃗ / ||u⃗||²) × u⃗

La longueur de cette projection :

||proj_u(v⃗)|| = (u⃗ · v⃗) / ||u⃗||

Utile en physique pour décomposer une force selon des axes.

Application physique : travail d'une force

Le travail W d'une force F⃗ déplaçant un objet sur un déplacement d⃗ :

W = F⃗ · d⃗ = ||F|| × ||d|| × cos(θ)

Où θ est l'angle entre la force et le déplacement.

Cas particuliers

• θ = 0° : W = F × d (force dans le sens du mouvement)
• θ = 90° : W = 0 (force perpendiculaire ne travaille pas)
• θ = 180° : W = -F × d (force opposée au mouvement, travail négatif)

Application physique : équilibre des forces

Un objet est en équilibre si la somme vectorielle des forces est nulle :

F⃗₁ + F⃗₂ + ... + F⃗_n = 0⃗

Décomposer chaque force selon les axes x, y, z. Chaque composante doit être nulle.

Exemple : objet suspendu par deux cordes

Poids P vers le bas. Deux cordes formant angles α et β avec la verticale, tensions T₁ et T₂.

Équilibre vertical : T₁ cos α + T₂ cos β = P.
Équilibre horizontal : T₁ sin α = T₂ sin β.

Système de 2 équations à 2 inconnues, résoluble.

Produit vectoriel (en 3D)

Distinct du produit scalaire. Pour u⃗ = (u_x, u_y, u_z) et v⃗ = (v_x, v_y, v_z) :

u⃗ × v⃗ = (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x)

Le résultat est un vecteur perpendiculaire à u⃗ et v⃗.

Norme

||u⃗ × v⃗|| = ||u⃗|| × ||v⃗|| × sin(θ)

Égale à l'aire du parallélogramme formé par u⃗ et v⃗.

Applications

• Moment d'une force : M⃗ = r⃗ × F⃗
• Force de Lorentz : F⃗ = q × v⃗ × B⃗
• Calcul de normale à un plan
• Aires de triangles : (1/2) × ||AB⃗ × AC⃗||

Base orthonormée

En 2D, base canonique : i⃗ = (1, 0), j⃗ = (0, 1).

Tout vecteur v⃗ = x × i⃗ + y × j⃗.

En 3D : i⃗, j⃗, k⃗ avec k⃗ = (0, 0, 1).

Une base est orthonormée si ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.

Coordonnées vs vecteurs

Distinction subtile :

• Un point P(x, y) a une position dans l'espace
• Un vecteur v⃗ = (x, y) a une direction et une magnitude, pas de position fixe

Le vecteur AB⃗ peut être déplacé librement dans l'espace ; les points A et B sont fixes.

Formule du déterminant 2×2

Pour deux vecteurs en 2D :

det(u⃗, v⃗) = u_x × v_y - u_y × v_x

Représente l'aire orientée du parallélogramme. Si négative : les vecteurs sont disposés dans le sens horaire.

Test de colinéarité

u⃗ et v⃗ colinéaires ⟺ det(u⃗, v⃗) = 0.

Calculs sur la calculatrice

Notre Calculatrice scientifique permet les opérations scalaires utiles aux vecteurs :

• Norme : √(x² + y²)
• Produit scalaire : u_x × v_x + u_y × v_y
• cos(angle) : produit scalaire / produit des normes

Pour des opérations vectorielles automatisées, utilisez Python avec NumPy ou un logiciel de calcul formel.

Conclusion

Les vecteurs et le produit scalaire sont des outils essentiels de la géométrie analytique et de la physique. La notion d'orthogonalité, de projection et de travail revient partout : mécanique, électromagnétisme, infographie 3D, machine learning (algorithmes de classification). Maîtriser le calcul vectoriel dès le lycée est un investissement pour tout parcours scientifique. Notre Calculatrice scientifique permet les calculs de base nécessaires.