Simplifier les fractions rationnelles
Les fractions rationnelles (quotients de polynômes) se simplifient en factorisant numérateur et dénominateur. Méthode détaillée.
Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes : $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
Exemple : $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$.
Le principe de simplification
Comme pour les fractions numériques, on simplifie en supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
La méthode
- Factoriser le numérateur
- Factoriser le dénominateur
- Identifier les facteurs communs
- Les simplifier
- Préciser les valeurs interdites
Exemple détaillé
Simplifier $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$.
- Numérateur : $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
- Dénominateur : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
- Facteur commun : $(x - 2)$
- Simplifié : $\dfrac{x + 2}{x - 3}$
Les valeurs interdites
Avant de simplifier, il faut noter les valeurs qui annulent le dénominateur ORIGINAL. Ce sont les valeurs interdites.
Dans l'exemple, le dénominateur $(x-2)(x-3)$ s'annule en $x = 2$ et $x = 3$. Ces valeurs restent interdites, même après simplification.
Le piège de la simplification
L'expression simplifiée $\dfrac{x+2}{x-3}$ semble définie en $x = 2$. Mais l'expression d'origine ne l'était pas ! La simplification ne change pas le domaine de définition.
On précise : « $\dfrac{x+2}{x-3}$ pour $x \ne 2$ et $x \ne 3$ ».
On ne simplifie que des facteurs
Erreur classique : simplifier des termes au lieu de facteurs.
$\dfrac{x + 2}{x + 3}$ ne se simplifie PAS : $x$ n'est pas un facteur commun, c'est un terme.
On ne simplifie QUE des facteurs (éléments d'un produit).
Additionner des fractions rationnelles
Comme les fractions numériques : réduire au même dénominateur.
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1) + x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$
Multiplier des fractions rationnelles
$\dfrac{P_1}{Q_1} \times \dfrac{P_2}{Q_2} = \dfrac{P_1 P_2}{Q_1 Q_2}$
On multiplie numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Puis on simplifie.
Diviser des fractions rationnelles
Diviser, c'est multiplier par l'inverse :
$\dfrac{P_1}{Q_1} \div \dfrac{P_2}{Q_2} = \dfrac{P_1}{Q_1} \times \dfrac{Q_2}{P_2}$
Les fractions composées
Une fraction de fractions : $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$.
Exemple de simplification de produit
$\dfrac{x^2 - 1}{x + 2} \times \dfrac{x + 2}{x - 1}$
- $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
- Le tout : $\dfrac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$
- Simplifié : $x + 1$ (pour $x \ne -2$, $x \ne 1$)
La forme irréductible
Une fraction rationnelle est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de facteur commun.
Décomposition en éléments simples
Pour des usages avancés (intégration, transformée de Laplace), on décompose une fraction rationnelle en somme de fractions simples : $\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$.
Simplifier avant de calculer
Toujours simplifier une fraction rationnelle AVANT de l'utiliser (calcul de limite, dérivée, intégrale). Cela évite des calculs lourds.
Conclusion
Simplifier une fraction rationnelle : factoriser numérateur et dénominateur, supprimer les facteurs communs, noter les valeurs interdites. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes. Notre Calculatrice de simplification simplifie les fractions rationnelles.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice de simplification — calcul instantané avec explication pas à pas.