Simplifier les expressions avec radicaux

Les expressions avec radicaux (racines carrées et autres) se simplifient grâce à des règles spécifiques. Méthode complète.

Qu'est-ce qu'un radical ?

Un radical est une expression contenant une racine : $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x}$, etc. La racine carrée est la plus courante.

Les règles de base des racines carrées

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (pour $a, b \ge 0$)
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (pour $b > 0$)
• $\sqrt{a^2} = |a|$
• $(\sqrt{a})^2 = a$ (pour $a \ge 0$)

Attention : pas de règle pour la somme

$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! Il n'y a pas de simplification de la racine d'une somme.

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Simplifier une racine carrée

On extrait les carrés parfaits de sous la racine.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

La méthode

1. Décomposer le nombre sous la racine en facteurs
2. Identifier les carrés parfaits (4, 9, 16, 25...)
3. Les sortir de la racine

Exemples

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$

Additionner des radicaux

On additionne des radicaux semblables (même radicande), comme des termes semblables.

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ne se simplifie pas (radicaux différents).

Additionner après simplification

Parfois, simplifier révèle des radicaux semblables.

$\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Multiplier des radicaux

$\sqrt{6} \times \sqrt{10} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$.

Radicaux et puissances

Une racine est une puissance fractionnaire : $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Les règles des puissances s'appliquent : $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x^{1/2} \times x^{1/2} = x$.

Rationaliser un dénominateur

Avoir une racine au dénominateur est jugé peu élégant. On rationalise en multipliant par une forme adaptée.

Dénominateur = une racine simple

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Dénominateur = somme avec racine

On multiplie par le conjugué (différence de carrés) :

$\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Les racines n-ièmes

$\sqrt[n]{x}$ est la racine $n$-ième. Règles similaires : $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Le piège de √(x²)

$\sqrt{x^2} = |x|$, pas $x$ ! Si $x$ peut être négatif, la valeur absolue est nécessaire.

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$.

Radicaux et valeurs sous la racine

Pour une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. C'est une contrainte de domaine.

Simplifier une expression avec radicaux

1. Simplifier chaque radical (extraire les carrés)
2. Regrouper les radicaux semblables
3. Rationaliser les dénominateurs si nécessaire

Exemple complet

Simplifier $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$.

• $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
• $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
• $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Radicaux et valeurs exactes

$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie. Garder $\sqrt{2}$ (forme exacte) est préférable à $1{,}414...$ (approximation) dans les calculs.

Conclusion

Simplifier les radicaux : extraire les carrés parfaits, regrouper les radicaux semblables, rationaliser les dénominateurs. Attention : pas de simplification de la racine d'une somme. Notre Calculatrice de simplification simplifie les expressions avec radicaux.