Règles de priorité des opérations
Pour simplifier ou évaluer une expression, il faut respecter les règles de priorité des opérations. Un ordre précis, source de nombreuses erreurs s'il est ignoré.
L'ordre des opérations
Les opérations s'effectuent dans un ordre précis :
- Parenthèses (et autres symboles de regroupement)
- Puissances et racines
- Multiplications et divisions (de gauche à droite)
- Additions et soustractions (de gauche à droite)
Le moyen mnémotechnique
« PEMDAS » (Parenthèses, Exposants, Multiplication-Division, Addition-Soustraction). En français, on parle parfois de « PEMDAS » ou de la règle de priorité.
Exemple : priorité de la multiplication
$3 + 4 \times 5$ : la multiplication d'abord.
$= 3 + 20 = 23$ (et non $7 \times 5 = 35$).
Exemple : les parenthèses changent tout
$(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35$.
Les parenthèses forcent l'addition en premier.
Exemple : les puissances
$2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$ (la puissance avant l'addition).
$2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (la puissance avant la multiplication).
De gauche à droite
Multiplication et division ont la même priorité : on les fait de gauche à droite.
$12 \div 3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (et non $12 \div 6 = 2$).
Idem pour addition et soustraction : de gauche à droite.
Les parenthèses imbriquées
On résout les parenthèses de l'intérieur vers l'extérieur.
$2 \times [3 + (4 - 1)] = 2 \times [3 + 3] = 2 \times 6 = 12$.
La barre de fraction
Une barre de fraction agit comme des parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur séparément, puis on divise.
$\dfrac{3 + 5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
La barre de racine
De même, tout ce qui est sous une racine est calculé d'abord.
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ (et non $3 + 4 = 7$).
Les puissances en chaîne
$2^{3^2}$ : on évalue de haut en bas (de droite à gauche). $2^{3^2} = 2^9 = 512$, et non $(2^3)^2 = 64$.
Le signe moins
Attention au signe moins devant une puissance : $-3^2 = -(3^2) = -9$. La puissance s'applique avant le signe. Pour avoir $(-3)^2 = 9$, il faut les parenthèses.
Les expressions avec variables
Les mêmes règles s'appliquent : $2 + 3x$ signifie $2 + (3 \times x)$, pas $(2 + 3) \times x$.
Multiplication implicite
$2x$ signifie $2 \times x$. $3(x+1)$ signifie $3 \times (x+1)$. La multiplication implicite a la priorité d'une multiplication.
Les calculatrices et la priorité
Les calculatrices modernes respectent la priorité. Mais attention aux calculatrices basiques qui calculent « au fil de l'eau » : $3 + 4 \times 5$ peut y donner 35 à tort.
Les expressions ambiguës
Certaines expressions, mal écrites, sont ambiguës : $6 \div 2(1+2)$ fait débat. La bonne pratique : ajouter des parenthèses pour lever toute ambiguïté.
L'importance des parenthèses
En cas de doute, ajouter des parenthèses. Une expression sur-parenthésée est moins élégante mais sans ambiguïté.
Vérifier l'ordre
Pour évaluer une expression complexe :
- Repérer les parenthèses, les barres de fraction/racine
- Calculer leur contenu
- Appliquer les puissances
- Multiplications/divisions de gauche à droite
- Additions/soustractions de gauche à droite
Exemple complet
$2 + 3 \times (4 - 1)^2 \div 9$
- Parenthèse : $4 - 1 = 3$ → $2 + 3 \times 3^2 \div 9$
- Puissance : $3^2 = 9$ → $2 + 3 \times 9 \div 9$
- Mult/div de gauche à droite : $3 \times 9 = 27$, $27 \div 9 = 3$ → $2 + 3$
- Addition : $5$
Conclusion
Les règles de priorité (parenthèses, puissances, mult/div, add/soustr) sont incontournables pour simplifier et évaluer correctement. En cas de doute, parenthéser. Notre Calculatrice de simplification respecte ces priorités.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice de simplification — calcul instantané avec explication pas à pas.