Dérivées : définition, règles de calcul, applications
La dérivée d'une fonction mesure son taux de variation instantané. Notion centrale de l'analyse mathématique, elle apparaît partout : vitesse en physique, optimisation en économie, taux marginaux. Cet article présente la définition par les limites, les règles de calcul des dérivées usuelles, et donne des exemples concrets d'application.
Définition par la limite
La dérivée d'une fonction f en un point a est :
f'(a) = lim (h→0) [f(a + h) - f(a)] / h
Lorsque cette limite existe, on dit que f est dérivable en a.
Interprétation géométrique
f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
Si f'(a) > 0 : la fonction est croissante en a.
Si f'(a) < 0 : décroissante.
Si f'(a) = 0 : tangente horizontale (extremum possible).
Interprétation physique
Si f(t) est la position d'un objet à l'instant t, f'(t) est sa vitesse instantanée.
Si f(t) est la vitesse, f'(t) est l'accélération.
Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| constante k | 0 |
| x | 1 |
| x^n | n × x^(n-1) |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | -1/x² |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
| log(x) | 1 / (x × ln(10)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) |
| arctan(x) | 1 / (1 + x²) |
| a^x | a^x × ln(a) |
À mémoriser : indispensables au lycée et en supérieur.
Règles de dérivation
Somme et différence
(f + g)' = f' + g'
(f - g)' = f' - g'
Produit par une constante
(k × f)' = k × f'
Produit (règle de Leibniz)
(f × g)' = f' × g + f × g'
Exemple : (x² × sin(x))' = 2x × sin(x) + x² × cos(x).
Quotient
(f / g)' = (f' × g - f × g') / g²
Exemple : (sin(x) / x)' = (cos(x) × x - sin(x) × 1) / x² = (x × cos(x) - sin(x)) / x².
Composition (chain rule)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x)
Exemple : (sin(x²))' = cos(x²) × 2x = 2x × cos(x²).
Inverse de fonction
(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y))
Dérivées d'ordre supérieur
f'' = dérivée seconde = dérivée de f'.
f''' = dérivée troisième.
f^(n) = dérivée n-ième.
Exemple : f(x) = x⁴
- f'(x) = 4x³
- f''(x) = 12x²
- f'''(x) = 24x
- f^(4)(x) = 24
- f^(5)(x) = 0
Tangente à une courbe
Équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a :
y = f'(a) × (x - a) + f(a)
Exemple
f(x) = x². Tangente en a = 3 :
- f(3) = 9, f'(x) = 2x, f'(3) = 6
- y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9
Étude de variations
Pour étudier le sens de variation d'une fonction :
- Calculer f'(x)
- Étudier le signe de f'(x)
- f croissante là où f' > 0, décroissante là où f' < 0
- Extrema aux points où f'(x) = 0 (et changement de signe)
Exemple : f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4. f'(x) = 0 ⟹ x = 2.
f'(x) < 0 pour x < 2 (décroissante).
f'(x) > 0 pour x > 2 (croissante).
Minimum en x = 2, valeur f(2) = -1.
Extrema et points critiques
Conditions nécessaires
Si f admet un extremum local en a (intérieur du domaine), alors f'(a) = 0.
Les points où f'(a) = 0 sont appelés points critiques.
Détermination du type d'extremum (avec f'')
- f''(a) > 0 : minimum local en a
- f''(a) < 0 : maximum local en a
- f''(a) = 0 : inconclusif (point d'inflexion possible)
Concavité et convexité
La concavité d'une fonction se déduit du signe de f'' :
- f'' > 0 : convexe (tangentes sous la courbe, « creux vers le haut »)
- f'' < 0 : concave (tangentes au-dessus, « creux vers le bas »)
- f'' change de signe en a : point d'inflexion en a
Exemples
- f(x) = x² : convexe partout
- f(x) = -x² : concave partout
- f(x) = x³ : f'' = 6x. Concave si x<0, convexe si x>0. Point d'inflexion en 0.
Approximation linéaire
Près d'un point a, on peut approcher f par sa tangente :
f(x) ≈ f(a) + f'(a) × (x - a)
Utile pour les calculs approximatifs.
Exemple
Pour √x près de 100 :
- f(100) = 10, f'(100) = 1/(2×10) = 0,05
- √101 ≈ 10 + 0,05 × 1 = 10,05 (réel : 10,0499)
Développements limités
Généralisation : approximation polynomiale au voisinage de 0 (formule de Taylor).
Quelques DL classiques :
- e^x ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + ...
- sin(x) ≈ x - x³/6 + x⁵/120 - ...
- cos(x) ≈ 1 - x²/2 + x⁴/24 - ...
- ln(1+x) ≈ x - x²/2 + x³/3 - ...
- 1/(1-x) ≈ 1 + x + x² + x³ + ... (pour |x| < 1)
Dérivée implicite
Pour une relation F(x, y) = 0 où y n'est pas explicitement isolé, on peut dériver implicitement.
Exemple : cercle x² + y² = 1
2x + 2y × y' = 0 → y' = -x/y.
Pente de la tangente au point (3/5, 4/5) : y' = -(3/5)/(4/5) = -3/4.
Dérivées partielles
Pour une fonction de plusieurs variables f(x, y), la dérivée partielle par rapport à x considère y comme constante :
∂f/∂x = dérivée de f en x (y fixé)
Exemple : f(x, y) = x² + 3xy + y².
∂f/∂x = 2x + 3y. ∂f/∂y = 3x + 2y.
Applications de la dérivée
Physique : cinématique
Position x(t) → vitesse v(t) = x'(t) → accélération a(t) = v'(t) = x''(t).
Économie : analyse marginale
Si C(q) est le coût de production de q unités, C'(q) est le coût marginal (coût de la (q+1)-ème unité).
Profit maximal : P'(q) = 0, soit recette marginale = coût marginal.
Optimisation
Trouver le maximum (ou minimum) de f revient à résoudre f'(x) = 0.
Exemple : optimiser une aire ou un volume pour une contrainte donnée.
Médecine et pharmacologie
La dose efficace d'un médicament correspond souvent à un maximum d'une fonction concentration-effet.
Apprentissage automatique
L'algorithme de descente de gradient minimise une fonction de coût en suivant l'opposé du gradient (vecteur des dérivées partielles).
Au cœur de l'entraînement des réseaux de neurones.
Calculs sur la calculatrice
Notre Calculatrice scientifique ne fait pas de dérivation symbolique. Pour cela :
- Notre calculatrice de dérivées dédiée : calcul numérique en un point
- Outils symboliques : Wolfram Alpha, SymPy (Python), Maxima
Calcul numérique de f'(a) par différence finie centrée :
f'(a) ≈ [f(a+h) - f(a-h)] / (2h), pour h petit
Erreurs courantes
1. Oubli de la chain rule
(sin(2x))' = 2cos(2x), pas cos(2x). Ne pas oublier la dérivée intérieure.
2. Erreur de signe avec cos
(cos(x))' = -sin(x). Beaucoup d'élèves oublient le signe moins.
3. Confusion avec primitive
Dériver et intégrer sont opérations inverses. (sin)' = cos, mais ∫sin = -cos.
4. Dérivée de constante
La dérivée d'une constante est 0, pas la constante elle-même.
Historique
Le calcul différentiel a été inventé indépendamment par Newton (1665-1666) et Leibniz (1675-1684). La controverse sur la paternité a duré plus de 50 ans.
Notation actuelle :
- Leibniz : df/dx ou dy/dx
- Lagrange : f'(x), f''(x)
- Newton : ẏ, ÿ (point au-dessus, surtout pour le temps)
Conclusion
La dérivée est l'un des concepts les plus puissants des mathématiques. Elle permet d'étudier le comportement local des fonctions, d'optimiser, de modéliser des phénomènes dynamiques. Au-delà du lycée, elle est centrale en physique, économie, ingénierie et data science. Maîtrisez les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calcul ; le reste s'apprend par la pratique. Pour les dérivées numériques, voir notre calculatrice dédiée.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice scientifique — calcul instantané avec explication pas à pas.