Équation du second degré : discriminant, racines, factorisation
L'équation du second degré ax² + bx + c = 0 est l'un des classiques absolus du programme de première et terminale. Cet article présente la méthode du discriminant Δ = b² - 4ac, les trois cas de figure (deux racines réelles, une racine double, racines complexes), la factorisation, la forme canonique, et donne des applications pratiques en physique et économie.
L'équation du second degré : forme générale
ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0
Les coefficients a, b, c sont des nombres réels. Si a = 0, on retombe sur une équation du premier degré.
Exemples
- x² - 5x + 6 = 0 → a=1, b=-5, c=6
- 2x² + 3x - 1 = 0 → a=2, b=3, c=-1
- -x² + 4 = 0 → a=-1, b=0, c=4
La méthode du discriminant
Le discriminant est défini par :
Δ = b² - 4ac
Le signe de Δ détermine le nombre de solutions réelles.
Cas 1 : Δ > 0 (deux racines réelles distinctes)
x₁ = (-b - √Δ) / (2a)
x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
Exemple : x² - 5x + 6 = 0.
- Δ = 25 - 24 = 1 > 0
- x₁ = (5 - 1) / 2 = 2
- x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Vérification : (x-2)(x-3) = x² - 5x + 6. ✓
Cas 2 : Δ = 0 (racine double)
x₀ = -b / (2a)
Exemple : x² - 4x + 4 = 0.
- Δ = 16 - 16 = 0
- x₀ = 4 / 2 = 2
La parabole touche l'axe des x en un seul point (tangente).
Cas 3 : Δ < 0 (pas de racine réelle)
Aucune solution dans ℝ. Mais deux solutions complexes conjuguées :
x₁ = (-b - i√|Δ|) / (2a)
x₂ = (-b + i√|Δ|) / (2a)
Exemple : x² + x + 1 = 0.
- Δ = 1 - 4 = -3
- x = (-1 ± i√3) / 2
La factorisation
Si x₁ et x₂ sont les racines, on peut factoriser :
ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
Exemple : x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Si Δ = 0 (racine double x₀) :
ax² + bx + c = a(x - x₀)²
Exemple : x² - 4x + 4 = (x - 2)².
La forme canonique
Toute expression du second degré peut s'écrire :
ax² + bx + c = a(x - α)² + β
où :
- α = -b/(2a) (abscisse du sommet de la parabole)
- β = c - b²/(4a) = -Δ/(4a) (ordonnée du sommet)
Exemple : x² - 6x + 13
- α = 6/2 = 3
- β = 13 - 36/4 = 13 - 9 = 4
- Forme canonique : (x - 3)² + 4
Vérification : (x-3)² + 4 = x² - 6x + 9 + 4 = x² - 6x + 13. ✓
La forme canonique révèle immédiatement que cette expression est toujours ≥ 4 (Δ < 0).
Relations entre coefficients et racines (Viète)
Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0 :
x₁ + x₂ = -b/a (somme des racines)
x₁ × x₂ = c/a (produit des racines)
Exemple : x² - 5x + 6 = 0.
- Somme = 5 (= 2 + 3 ✓)
- Produit = 6 (= 2 × 3 ✓)
Utile pour deviner les racines mentalement : chercher deux nombres dont la somme = -b/a et le produit = c/a.
Représentation graphique : la parabole
Le graphique de f(x) = ax² + bx + c est une parabole.
Orientation
- a > 0 : parabole orientée vers le haut (« sourire »)
- a < 0 : parabole orientée vers le bas (« moue »)
Sommet
Coordonnées (α, β) = (-b/(2a), -Δ/(4a)).
Pour a > 0 : minimum. Pour a < 0 : maximum.
Intersection avec l'axe des x
Les racines x₁ et x₂ sont les abscisses où la parabole croise (ou touche) l'axe horizontal.
- Δ > 0 : deux points d'intersection
- Δ = 0 : un point (tangent)
- Δ < 0 : aucun point d'intersection (parabole ne touche pas l'axe)
Inéquations du second degré
Pour résoudre ax² + bx + c > 0 (ou < 0, ≥, ≤), il faut connaître le signe du polynôme.
Règle : le polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.
Exemple : x² - 5x + 6 > 0
- Racines : 2 et 3
- a > 0, donc positif à l'extérieur, négatif entre 2 et 3
- Solution : x < 2 ou x > 3
- Notation : x ∈ ]-∞, 2[ ∪ ]3, +∞[
Méthode pour résoudre rapidement
- Identifier a, b, c
- Calculer Δ = b² - 4ac
- Si Δ > 0 : calculer x₁ et x₂
- Si Δ = 0 : calculer x₀
- Si Δ < 0 : pas de solution réelle (ou solutions complexes selon contexte)
- Vérifier en remplaçant les solutions dans l'équation
Applications en physique
Chute libre
Un objet lâché à hauteur h₀ avec vitesse initiale v₀ a une hauteur :
h(t) = h₀ + v₀ × t - (1/2) × g × t²
Où g ≈ 9,81 m/s².
Pour trouver quand l'objet touche le sol : h(t) = 0.
-(g/2) t² + v₀ t + h₀ = 0
Équation du second degré en t. Discriminant et formule donnent les solutions.
Trajectoire d'un projectile
Un projectile lancé avec angle α et vitesse v₀ a une trajectoire parabolique. La portée est résolue par une équation du second degré.
Énergie cinétique vs hauteur
Conservation de l'énergie : Ec + Ep = constante. Si on connaît Ec(h), résoudre l'équation pour h donne souvent une équation quadratique.
Applications en économie
Coût total et profit
Pour une entreprise :
- Coût total : C(q) = aq² + bq + c (où q = quantité)
- Recette : R(q) = p × q (p = prix)
- Profit : P(q) = R(q) - C(q) = -aq² + (p-b)q - c
Maximisation du profit : sommet de la parabole = -b/(2a).
Point mort
Le « point mort » est la quantité minimum à vendre pour que profit = 0. Solution d'une équation du second degré.
Applications en mathématiques pures
Discriminant et factorisation
Si Δ = 0, le polynôme est un carré parfait : (x - x₀)². Test rapide d'identité remarquable.
Trouver une asymptote
Pour f(x) = (ax² + bx + c) / (x - d), la division euclidienne permet d'identifier l'asymptote oblique.
Cas particuliers à connaître
b = 0 : équation pure x²
ax² + c = 0 → x² = -c/a → x = ±√(-c/a) (si -c/a > 0).
Exemple : 2x² - 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2.
c = 0 : factorisation directe
ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 ou x = -b/a.
a = 1 : forme normalisée
x² + bx + c = 0. La somme des racines = -b, produit = c.
Si on cherche deux nombres dont la somme et le produit sont donnés : Viète directement.
Historique : la résolution de l'équation du second degré
Connue depuis l'Antiquité (Babylonien, Égypte, Grèce). La méthode actuelle :
- Brahmagupta (598-668) en Inde : première formulation explicite
- Al-Khwarizmi (vers 820) en Perse : développement systématique
- Viète (1540-1603) : symbolisation algébrique moderne
- Descartes (1637) : forme actuelle avec discriminant
Sur la calculatrice scientifique
Pour résoudre ax² + bx + c = 0 :
- Calculer Δ = b² - 4ac sur la calculatrice
- Si Δ ≥ 0, calculer √Δ puis x₁, x₂
Notre Calculatrice scientifique propose les fonctions √, x², parenthèses pour mener les calculs.
Pour une résolution automatique d'équations, voir notre calculatrice dédiée du second degré.
Les erreurs courantes
1. Oublier le signe du discriminant
Si b = -5 : b² = 25 (positif). Erreur fréquente : écrire (-5)² = -25.
2. Inverser le numérateur et dénominateur
La formule est (-b ± √Δ) / (2a), pas (-b ± √Δ) / a.
3. Oublier le coefficient « a »
Dans la factorisation : ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂), pas (x-x₁)(x-x₂).
4. Mauvais signe dans la forme canonique
α = -b/(2a). Si b > 0, α < 0. Beaucoup d'élèves oublient le signe.
Le second degré dans les complexes
Si Δ < 0, les solutions sont complexes conjuguées :
x₁ = (-b - i√|Δ|) / (2a), x₂ = (-b + i√|Δ|) / (2a)
Exemple : x² + 1 = 0 → x² = -1 → x = ±i.
En analyse, ces solutions complexes sont essentielles pour décomposer les polynômes du degré supérieur (théorème fondamental de l'algèbre).
Conclusion
L'équation du second degré est un passage obligé du lycée et le socle de nombreuses applications scientifiques. La méthode du discriminant est rapide et systématique. La forme canonique et les relations de Viète donnent des intuitions supplémentaires. Maîtriser ces outils permet d'aborder les équations plus complexes (degré 3, 4, systèmes). Notre Calculatrice scientifique permet les calculs intermédiaires, et notre calculatrice dédiée automatise toute la résolution.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice scientifique — calcul instantané avec explication pas à pas.