Suites arithmétiques et géométriques : formules, sommes, exemples

Les suites arithmétiques et suites géométriques sont au programme du lycée et apparaissent partout : épargne, démographie, physique des oscillations. Cet article distingue clairement les deux types, présente les formules de terme général et de somme, et donne des exemples concrets d'application.

Définition d'une suite

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou une partie). Elle associe à chaque entier n un terme u_n.

Notations : (u_n), suite. Premier terme : u_0 (ou u_1 selon convention).

Les suites arithmétiques

Définition

Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si :

u_{n+1} = u_n + r pour tout n

Chaque terme est obtenu en ajoutant la même valeur r au précédent.

Exemples

• u_n = 3 + 5n → u_0 = 3, u_1 = 8, u_2 = 13... (raison 5)
• u_n = 100 - 7n → décroissante, raison -7
• Suite paire : 2, 4, 6, 8, 10... (raison 2)

Terme général

Si u_0 est le premier terme et r la raison :

u_n = u_0 + n × r

Et plus généralement, à partir d'un indice p :

u_n = u_p + (n - p) × r

Somme des termes

Somme des n+1 premiers termes (de u_0 à u_n) :

S = (n+1) × (u_0 + u_n) / 2

Démonstration (astuce de Gauss) : on additionne la somme à l'envers et on double :

• S = u_0 + u_1 + ... + u_n
• S = u_n + u_{n-1} + ... + u_0
• 2S = (u_0 + u_n) × (n+1)

Exemple : somme des 100 premiers entiers

1 + 2 + 3 + ... + 100 = 100 × (1 + 100) / 2 = 5 050

Anecdote : Gauss à 7 ans aurait trouvé cette formule en quelques secondes alors que son instituteur attendait que les élèves fassent l'addition une à une.

Les suites géométriques

Définition

Une suite (u_n) est géométrique de raison q si :

u_{n+1} = u_n × q pour tout n

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q.

Exemples

• u_n = 2^n → 1, 2, 4, 8, 16... (raison 2)
• u_n = 100 × 0,5^n → 100, 50, 25, 12,5... (raison 0,5)
• u_n = 1000 × 1,03^n → croissance à 3 % par an (raison 1,03)

Terme général

u_n = u_0 × q^n

Ou à partir d'un indice p :

u_n = u_p × q^(n-p)

Somme des termes

Pour q ≠ 1 :

S = u_0 × (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Démonstration : on multiplie S par q et on soustrait :

• S = u_0 + u_0 × q + u_0 × q² + ... + u_0 × q^n
• q × S = u_0 × q + u_0 × q² + ... + u_0 × q^(n+1)
• (1 - q) × S = u_0 × (1 - q^(n+1))

Exemple : épargne

Vous placez 1 000 € à 5 % par an pendant 10 ans. Capital final ?

u_n = 1 000 × 1,05^n

u_10 = 1 000 × 1,05¹⁰ ≈ 1 628,89 €

Convergence des suites géométriques

Comportement de u_n = u_0 × q^n quand n → ∞ :

• Si |q| < 1 : u_n → 0 (convergence vers 0)
• Si q = 1 : u_n = u_0 constant
• Si q = -1 : alterne entre u_0 et -u_0
• Si |q| > 1 : |u_n| → ∞ (divergence)

Somme infinie d'une suite géométrique

Si |q| < 1, la somme infinie existe :

S∞ = u_0 / (1 - q)

Exemple : paradoxe de Zénon

Achille rattrape la tortue ? À chaque étape, il parcourt la moitié de la distance restante. Total parcouru :

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2 × 1/(1 - 1/2) = 1

Achille parcourt bien la distance complète, mais en une infinité d'étapes (le paradoxe se résout par la notion de convergence).

Différences clés arithmétique vs géométrique

Comment identifier une suite ?

Indices de suite arithmétique

• Différence entre termes consécutifs constante
• u_{n+1} - u_n = r constant

Indices de suite géométrique

• Rapport entre termes consécutifs constant
• u_{n+1} / u_n = q constant

Exemple

3, 6, 12, 24, 48 : arithmétique ou géométrique ?

• Différences : 3, 6, 12, 24 (non constantes)
• Rapports : 2, 2, 2, 2 (constants)
• → Géométrique, raison 2

Applications concrètes

Suite arithmétique : escalier

Hauteur d'une marche : 17 cm. Hauteur après n marches : 17n cm.

Suite arithmétique : remboursement constant

Prêt remboursé à capital constant. Mensualités décroissantes (les intérêts diminuent).

Suite géométrique : intérêts composés

Capital à n années : C_n = C_0 × (1 + r)^n. Suite géométrique de raison (1 + r).

Suite géométrique : démographie

Population croissant à 1,5 % par an : P_n = P_0 × 1,015^n. Doublement en 47 ans (règle de 72 / 1,5).

Suite géométrique : décroissance radioactive

Demi-vie T : N_n = N_0 × (1/2)^(n/T). Suite géométrique de raison (1/2)^(1/T).

Suite géométrique : amortissement

Valeur d'une voiture qui perd 20 % par an : V_n = V_0 × 0,8^n. Après 5 ans : ~33 % de la valeur initiale.

Suites récurrentes plus complexes

Suite arithmético-géométrique

Forme : u_{n+1} = a × u_n + b. Combine multiplication par a et ajout de b.

Exemple : remboursement avec intérêts. Capital restant : C_{n+1} = C_n × (1 + r) - m (où m = mensualité).

Suite de Fibonacci

F_{n+1} = F_n + F_{n-1}, avec F_0 = 0, F_1 = 1.

Termes : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Rapport F_{n+1}/F_n → φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 (nombre d'or).

Convergence et divergence

Suites convergentes

u_n → L (limite finie L). Exemples :

• u_n = 1/n → 0
• u_n = (1 + 1/n)^n → e
• u_n = (-1)^n / n → 0

Suites divergentes

• u_n = n → +∞
• u_n = (-1)^n : diverge (oscille entre -1 et 1)

Sur la calculatrice scientifique

Notre Calculatrice scientifique permet de calculer terme à terme. Pour les sommes complètes, utilisez :

• Suite arithmétique : (n+1) × (u_0 + u_n) / 2
• Suite géométrique : u_0 × (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Pour les calculs automatisés, voir notre calculatrice de suite arithmétique et calculatrice de suite géométrique.

Pièges classiques

1. Confusion u_0 et u_1

Selon la convention française, les suites démarrent à u_0 ou u_1. Toujours vérifier.

2. Oublier le facteur (n+1)

Pour la somme de n+1 termes (de u_0 à u_n), le facteur est n+1, pas n.

3. Confusion arithmétique / géométrique

Si on multiplie, c'est géométrique. Si on ajoute, c'est arithmétique. Vérifier sur 3-4 termes successifs.

Conclusion

Les suites arithmétiques et géométriques sont des outils essentiels du programme du lycée et apparaissent dans tous les domaines impliquant une progression régulière (linéaire ou exponentielle). Maîtriser leurs formules de terme général et de somme permet d'aborder de nombreux problèmes concrets (finance, démographie, physique). Pour les calculs, utilisez notre Calculatrice scientifique et nos calculatrices de suites dédiées.