Suite géométrique : définition, raison, terme général

Une suite géométrique est une suite de nombres où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même facteur. C'est le modèle de la croissance (ou décroissance) exponentielle.

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un nombre $q \ne 0$, appelé raison, tel que :

$u_{n+1} = q \cdot u_n$ pour tout $n$

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $q$.

Exemples

• 2, 6, 18, 54, 162, ... → raison $q = 3$
• 100, 50, 25, 12,5, ... → raison $q = 0{,}5$
• 1, −2, 4, −8, 16, ... → raison $q = -2$
• Puissances de 10 : 1, 10, 100, 1000, ... → raison 10

Terme général

Connaissant le premier terme $u_0$ et la raison $q$ :

$u_n = u_0 \cdot q^n$

Si la suite commence à l'indice 1 :

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Exemple

Suite 2, 6, 18, 54, ... avec $u_0 = 2$, $q = 3$ :

$u_n = 2 \times 3^n$. Donc $u_5 = 2 \times 243 = 486$.

Calculer la raison

$q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (rapport de deux termes consécutifs)

À partir de deux termes quelconques :

$q^{p-r} = \dfrac{u_p}{u_r}$

Exemple

$u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Raison :

$q^3 = 96/12 = 8$ → $q = 2$

Reconnaître une suite géométrique

Une suite est géométrique ssi le rapport entre termes consécutifs est constant.

Test : calculer $u_1/u_0$, $u_2/u_1$, $u_3/u_2$... Si tous ces rapports sont égaux, la suite est géométrique.

Sens de variation

Pour $u_0 > 0$ :

• $q > 1$ : suite strictement croissante (croissance exponentielle)
• $0 < q < 1$ : suite strictement décroissante vers 0
• $q = 1$ : suite constante
• $q < 0$ : suite alternée (signe change à chaque terme)

Représentation graphique

Les points $(n, u_n)$ d'une suite géométrique suivent une courbe exponentielle :

• $q > 1$ : croissance explosive
• $0 < q < 1$ : décroissance vers 0

C'est l'analogue discret de la fonction $f(x) = u_0 \cdot q^x$.

Propriété des termes équidistants

Dans une suite géométrique à termes positifs, un terme est la moyenne géométrique de ses voisins :

$u_n = \sqrt{u_{n-1} \cdot u_{n+1}}$

Exemple : 6 est la moyenne géométrique de 2 et 18 ($\sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$).

Croissance exponentielle vs linéaire

La différence fondamentale avec la suite arithmétique :

• Arithmétique : on AJOUTE → croissance linéaire
• Géométrique : on MULTIPLIE → croissance exponentielle

Sur le long terme, toute suite géométrique de raison > 1 dépasse n'importe quelle suite arithmétique.

La légende de l'échiquier

Une légende raconte qu'un sage demanda comme récompense : 1 grain de riz sur la 1re case d'un échiquier, 2 sur la 2e, 4 sur la 3e, en doublant à chaque case.

Total : $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{63} = 2^{64} - 1 ≈ 1{,}8 \times 10^{19}$ grains.

Soit environ 1000 fois la production mondiale annuelle de riz. La croissance géométrique est implacable.

Suites géométriques au quotidien

• Intérêts composés : le capital est multiplié par $(1 + \text{taux})$ chaque période
• Inflation : les prix multipliés par $(1 + \text{taux})$ chaque année
• Décroissance radioactive : la masse divisée par 2 à chaque demi-vie
• Dépréciation : une voiture perd un % fixe de sa valeur par an
• Reproduction : bactéries qui doublent à intervalle régulier

Conclusion

La suite géométrique modélise toute progression à taux constant. Son terme général $u_n = u_0 \cdot q^n$ exprime la croissance exponentielle. Notre Calculatrice de suite géométrique calcule terme général, raison et sommes.