Suites géométriques : 15 exercices types corrigés

Voici une série d'exercices types sur les suites géométriques, des plus simples aux plus avancés, entièrement corrigés.

Exercice 1 : reconnaître une suite géométrique

Énoncé : Ces suites sont-elles géométriques ?

• a) 3, 12, 48, 192
• b) 5, 10, 15, 20
• c) 80, 40, 20, 10

Corrigé :

• a) Rapports : 4, 4, 4 → géométrique, raison 4
• b) Rapports : 2, 1,5, 1,33 → pas géométrique (c'est arithmétique)
• c) Rapports : 0,5, 0,5, 0,5 → géométrique, raison 0,5

Exercice 2 : calculer un terme

Énoncé : Suite géométrique $u_0 = 5$, $q = 3$. Calculer $u_6$.

Corrigé : $u_6 = 5 \times 3^6 = 5 \times 729 = \mathbf{3645}$.

Exercice 3 : trouver la raison

Énoncé : Suite géométrique $u_2 = 18$, $u_5 = 486$. Trouver $q$.

Corrigé : $q^3 = u_5/u_2 = 486/18 = 27$ → $q = \mathbf{3}$.

Exercice 4 : trouver le premier terme

Énoncé : Suite géométrique de raison 2, $u_8 = 1280$. Trouver $u_0$.

Corrigé : $u_8 = u_0 \times 2^8 = 256 u_0 = 1280$ → $u_0 = \mathbf{5}$.

Exercice 5 : somme de termes

Énoncé : Calculer $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486$.

Corrigé : Suite géométrique $u_0 = 2$, $q = 3$, 6 termes.

$S = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2} = 2 \times 364 = \mathbf{728}$.

Exercice 6 : somme infinie

Énoncé : Calculer $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$ (somme infinie).

Corrigé : Raison 1/3 < 1, somme converge.

$S_\infty = \dfrac{1}{1 - 1/3} = \dfrac{1}{2/3} = \mathbf{3/2}$.

Exercice 7 : décimal périodique en fraction

Énoncé : Écrire $0{,}454545...$ sous forme de fraction.

Corrigé : $= 45 \times (0{,}01 + 0{,}0001 + \ldots) = 45 \times \dfrac{0{,}01}{1 - 0{,}01} = 45 \times \dfrac{0{,}01}{0{,}99} = \dfrac{45}{99} = \mathbf{5/11}$.

Exercice 8 : intérêts composés

Énoncé : 2 000 € placés à 5 % pendant 12 ans. Capital final ?

Corrigé : $C_{12} = 2000 \times 1{,}05^{12} = 2000 \times 1{,}7959 ≈ \mathbf{3591{,}71}$ €.

Exercice 9 : trouver le rang

Énoncé : Suite géométrique $u_0 = 3$, $q = 2$. À quel rang le terme dépasse-t-il 10 000 ?

Corrigé : $3 \times 2^n > 10000$ → $2^n > 3333$. Or $2^{11} = 2048$, $2^{12} = 4096$. Donc $n = \mathbf{12}$.

Exercice 10 : demi-vie

Énoncé : Un échantillon radioactif de 80 g a une demi-vie de 6 jours. Masse après 24 jours ?

Corrigé : 24/6 = 4 demi-vies. $m = 80 \times (1/2)^4 = 80/16 = \mathbf{5}$ g.

Exercice 11 : trois termes en progression

Énoncé : Trois nombres en progression géométrique. Leur produit est 216, leur somme 26. Les trouver.

Corrigé : Notons-les $a/q$, $a$, $aq$.

• Produit : $a^3 = 216$ → $a = 6$
• Somme : $6/q + 6 + 6q = 26$ → $6/q + 6q = 20$ → $3/q + 3q = 10$
• $3q^2 - 10q + 3 = 0$ → $q = 3$ ou $q = 1/3$
• Les nombres : 2, 6, 18

Exercice 12 : versements réguliers

Énoncé : 100 €/mois placés à 0,5 %/mois pendant 60 mois. Valeur acquise ?

Corrigé :

$VF = 100 \times \dfrac{1{,}005^{60} - 1}{0{,}005} = 100 \times \dfrac{0{,}3489}{0{,}005} ≈ \mathbf{6977}$ €.

Exercice 13 : suite par récurrence

Énoncé : $u_0 = 4$, $u_{n+1} = 1{,}5 u_n$. Exprimer $u_n$ et calculer $u_{10}$.

Corrigé : Géométrique de raison 1,5. $u_n = 4 \times 1{,}5^n$. $u_{10} = 4 \times 57{,}665 ≈ \mathbf{230{,}66}$.

Exercice 14 : comparaison de placements

Énoncé : Placement A : 3 % capitalisé annuellement. Placement B : 0,25 %/mois. Lequel rapporte le plus ?

Corrigé :

• A : taux annuel 3 %
• B : $(1{,}0025)^{12} - 1 = 3{,}04$ %
• B rapporte légèrement plus.

Exercice 15 : somme géométrique appliquée

Énoncé : Une balle rebondit à 60 % de sa hauteur précédente. Lâchée de 2 m, quelle distance totale parcourt-elle avant de s'arrêter ?

Corrigé :

• Descente initiale : 2 m
• Puis chaque rebond : montée + descente. Hauteurs : $2 \times 0{,}6$, $2 \times 0{,}6^2$, ...
• Distance des rebonds : $2 \times (2 \times 0{,}6 + 2 \times 0{,}6^2 + \ldots) = 4 \times \dfrac{0{,}6}{1 - 0{,}6} = 4 \times 1{,}5 = 6$ m
• Distance totale : $2 + 6 = \mathbf{8}$ m

Conseils méthodologiques

• Identifier $u_0$ (ou $u_1$) et $q$ en premier
• Pour la somme finie : connaître premier terme, raison, nombre de termes
• Somme infinie : vérifier $|q| < 1$ d'abord
• Distinguer croissance ($q > 1$) et décroissance ($0 < q < 1$)
• Vérifier la cohérence (ordre de grandeur, signe)

Conclusion

La pratique consolide la compréhension des suites géométriques. Ces 15 exercices couvrent les types fréquents. Notre Calculatrice de suite géométrique permet de vérifier vos résultats : terme général, raison, somme finie et infinie.