Suites géométriques et intérêts composés
Les intérêts composés sont l'application financière reine des suites géométriques. Comprendre cette mécanique transforme la manière d'épargner et d'investir.
Le principe
Avec les intérêts composés, les intérêts gagnés produisent eux-mêmes des intérêts. Le capital est multiplié par $(1 + t)$ à chaque période, où $t$ est le taux.
Le capital forme une suite géométrique de raison $(1 + t)$.
Formule fondamentale
$C_n = C_0 \times (1 + t)^n$
où $C_0$ est le capital initial, $t$ le taux par période, $n$ le nombre de périodes.
Exemple de base
1 000 € placés à 4 % par an pendant 10 ans :
$C_{10} = 1000 \times 1{,}04^{10} = 1000 \times 1{,}4802 = 1480{,}24$ €
Gain : 480,24 €.
Intérêts simples vs composés
| Année | Simples (4 %) | Composés (4 %) |
|---|---|---|
| 0 | 1 000 € | 1 000 € |
| 10 | 1 400 € | 1 480 € |
| 20 | 1 800 € | 2 191 € |
| 30 | 2 200 € | 3 243 € |
| 40 | 2 600 € | 4 801 € |
L'écart se creuse de façon spectaculaire avec le temps.
La règle des 72
Temps de doublement d'un capital ≈ $72 / \text{taux}$ (taux en %).
- À 4 % : doublement en 18 ans
- À 6 % : en 12 ans
- À 8 % : en 9 ans
- À 12 % : en 6 ans
Capitalisation et fréquence
Plus les intérêts sont capitalisés souvent, plus le rendement effectif est élevé.
| Fréquence | Formule (taux annuel t) |
|---|---|
| Annuelle | $(1 + t)^n$ |
| Mensuelle | $(1 + t/12)^{12n}$ |
| Quotidienne | $(1 + t/365)^{365n}$ |
| Continue | $e^{tn}$ |
Exemple
1 000 € à 6 % sur 1 an :
- Annuelle : 1 060,00 €
- Mensuelle : 1 061,68 €
- Quotidienne : 1 061,83 €
- Continue : 1 061,84 €
Versements réguliers (suite géométrique de sommes)
Si on verse $V$ à chaque période sur un compte rémunéré à $t$, la valeur acquise après $n$ périodes :
$VF = V \times \dfrac{(1 + t)^n - 1}{t}$
C'est une somme de suite géométrique : chaque versement est capitalisé selon sa date.
Exemple
200 €/mois pendant 20 ans (240 mois) à 6 % annuel (0,5 %/mois) :
$VF = 200 \times \dfrac{1{,}005^{240} - 1}{0{,}005} ≈ 200 \times 462{,}04 = 92\,408$ €
Versé : 48 000 €. Intérêts : 44 408 €.
Inflation : suite géométrique décroissante du pouvoir d'achat
L'inflation érode le pouvoir d'achat. Avec une inflation $i$, 1 € futur vaut aujourd'hui $1/(1+i)^n$.
Le pouvoir d'achat suit une suite géométrique de raison $1/(1+i) < 1$.
Exemple
Avec 2 % d'inflation, le pouvoir d'achat de 1 000 € dans 30 ans :
$1000 / 1{,}02^{30} ≈ 552$ € en pouvoir d'achat actuel.
Rendement réel
Rendement réel = $(1 + \text{rendement nominal})/(1 + \text{inflation}) - 1$.
Placement à 5 %, inflation 3 % : rendement réel ≈ 1,94 %.
Dépréciation d'un actif
Une voiture perd ≈ 15-20 % de sa valeur par an. Sa valeur forme une suite géométrique décroissante.
Voiture à 25 000 €, dépréciation 18 %/an :
- An 1 : 20 500 €
- An 3 : 13 800 €
- An 5 : 9 280 €
Amortissement dégressif
Contrairement à l'amortissement linéaire (suite arithmétique), l'amortissement dégressif applique un taux fixe à la valeur résiduelle → suite géométrique.
Le PER et l'effet « boule de neige »
Sur un plan d'épargne retraite, le capital croît géométriquement. Plus on commence tôt, plus l'effet est puissant. 100 €/mois dès 25 ans rapportent bien plus que 200 €/mois dès 45 ans.
Crédit : la face sombre des intérêts composés
Les intérêts composés jouent aussi contre l'emprunteur. Une dette de carte de crédit à 18 % qui n'est pas remboursée double tous les 4 ans (règle des 72).
Comparer deux placements
Pour comparer, ramener tout au taux annuel équivalent :
$t_{\text{équiv}} = (1 + t_{\text{période}})^{\text{nb périodes/an}} - 1$
Conclusion
Les intérêts composés sont l'incarnation financière de la suite géométrique. Maîtriser cette mécanique — règle des 72, capitalisation, versements réguliers — est essentiel pour épargner intelligemment. Notre Calculatrice de suite géométrique modélise ces croissances exponentielles.
🧮 Utilisez l'outil : Calculatrice de suite géométrique — calcul instantané avec explication pas à pas.