Somme d'une suite géométrique : formule et somme infinie

La somme des termes d'une suite géométrique a une formule élégante. Et pour les raisons inférieures à 1, la somme infinie converge — un résultat fondamental.

Somme des termes (raison ≠ 1)

La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique :

$S = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

« Premier terme × (1 − raison puissance nombre de termes) / (1 − raison) ».

Démonstration

Soit $S = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \ldots + u_0 q^{n-1}$.

Multiplions par $q$ : $qS = u_0 q + u_0 q^2 + \ldots + u_0 q^n$.

Soustrayons : $S - qS = u_0 - u_0 q^n$.

$S(1 - q) = u_0(1 - q^n)$, d'où $S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$.

Cas q = 1

Si $q = 1$, tous les termes valent $u_0$, donc $S = n \cdot u_0$. (La formule générale ne s'applique pas, division par zéro.)

Exemple 1

Somme de $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 1024$ (raison 2, 11 termes) :

$S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$

Exemple 2

Somme de $3 + 6 + 12 + \ldots$ sur 8 termes (raison 2) :

$S = 3 \times \dfrac{1 - 2^8}{1 - 2} = 3 \times \dfrac{-255}{-1} = 3 \times 255 = 765$

Exemple 3 : raison < 1

Somme de $100 + 50 + 25 + 12{,}5 + 6{,}25$ (raison 0,5, 5 termes) :

$S = 100 \times \dfrac{1 - 0{,}5^5}{1 - 0{,}5} = 100 \times \dfrac{1 - 0{,}03125}{0{,}5} = 100 \times 1{,}9375 = 193{,}75$

Somme infinie : convergence

Si $|q| < 1$, alors $q^n \to 0$ quand $n \to \infty$. La somme infinie converge :

$S_\infty = \dfrac{u_0}{1 - q}$

Résultat remarquable : une infinité de termes a une somme finie.

Exemple : somme infinie

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots$ (raison 1/2) :

$S_\infty = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$

On peut additionner une infinité de termes et obtenir exactement 2.

Le paradoxe de Zénon

Zénon d'Élée (Ve siècle av. J.-C.) affirmait qu'Achille ne pourrait jamais rattraper une tortue : à chaque fois qu'il atteint la position de la tortue, celle-ci a avancé un peu.

Mais les distances forment une suite géométrique de raison < 1 : leur somme est finie ! Achille rattrape bien la tortue en un temps fini. La résolution du paradoxe tient dans la convergence de la série géométrique.

Écriture décimale et séries géométriques

Le nombre $0{,}9999... = 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \ldots$ est une série géométrique de premier terme 0,9 et raison 0,1 :

$S = \dfrac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = \dfrac{0{,}9}{0{,}9} = 1$

Donc $0{,}9999... = 1$ exactement. Surprenant mais rigoureusement vrai.

Fraction d'un décimal périodique

$0{,}3333... = 3 \times (0{,}1 + 0{,}01 + \ldots) = 3 \times \dfrac{0{,}1}{0{,}9} = \dfrac{1}{3}$.

Toute écriture périodique se convertit en fraction via la série géométrique.

Divergence pour |q| ≥ 1

• $q > 1$ : la somme infinie diverge vers $+\infty$
• $q = 1$ : somme infinie diverge
• $q \le -1$ : la somme infinie n'a pas de limite (oscille)

Application : valeur actuelle d'une rente perpétuelle

Une rente versant $R$ chaque année à l'infini, avec un taux d'actualisation $t$ :

Valeur actuelle = $\dfrac{R/(1+t)}{1 - 1/(1+t)} = \dfrac{R}{t}$

Une rente perpétuelle a une valeur finie ! Base de la valorisation des obligations perpétuelles.

Application : multiplicateur keynésien

En économie, une injection de dépense publique se diffuse : une partie est re-dépensée, qui à son tour est re-dépensée... Si la propension à consommer est $c$, le multiplicateur est :

$1 + c + c^2 + \ldots = \dfrac{1}{1 - c}$

Avec $c = 0{,}8$ : multiplicateur de 5.

Application : remboursement de prêt

La formule de la mensualité d'un prêt dérive de la somme géométrique des flux actualisés. C'est pourquoi $\dfrac{1 - (1+t)^{-n}}{t}$ apparaît dans la formule du crédit.

Application : fractale

Le périmètre du flocon de Koch est une suite géométrique de raison 4/3 : il diverge vers l'infini. L'aire, en revanche, converge (série géométrique de raison < 1). Une figure de périmètre infini et d'aire finie.

Erreurs courantes

• Oublier le cas $q = 1$ (formule générale invalide)
• Appliquer la somme infinie quand $|q| \ge 1$ (diverge)
• Confondre nombre de termes et exposant
• Mauvais signe pour les raisons négatives

Conclusion

La somme géométrique $u_0(1-q^n)/(1-q)$ et sa version infinie $u_0/(1-q)$ (pour $|q| < 1$) sont des outils puissants : elles résolvent le paradoxe de Zénon, valorisent les rentes perpétuelles, fondent le multiplicateur économique. Notre Calculatrice de suite géométrique calcule ces sommes.