Croissance exponentielle et demi-vie : modèles géométriques

La croissance exponentielle et la décroissance exponentielle régissent une multitude de phénomènes naturels. Les suites géométriques en sont le modèle discret.

Croissance exponentielle

Un phénomène croît exponentiellement quand son taux d'augmentation est proportionnel à sa taille actuelle. À chaque période, multiplication par $q > 1$.

Exemple : population de bactéries

Une bactérie se divise toutes les 20 minutes. Partant d'une bactérie :

• 20 min : 2
• 40 min : 4
• 1 h : 8
• 2 h : 64
• 10 h : $2^{30} ≈$ 1 milliard

Suite géométrique de raison 2. Croissance vertigineuse.

Limites de la croissance exponentielle

Dans la nature, la croissance exponentielle ne dure jamais indéfiniment : ressources limitées, espace fini. On passe à un modèle logistique qui sature.

Décroissance exponentielle

Un phénomène décroît exponentiellement quand il perd une fraction fixe de sa valeur par période. Multiplication par $q$ avec $0 < q < 1$.

Désintégration radioactive

Un noyau radioactif a une probabilité fixe de se désintégrer par unité de temps. La masse d'un échantillon décroît géométriquement.

Demi-vie

La demi-vie $T$ est le temps au bout duquel la moitié de l'échantillon s'est désintégrée. Après $n$ demi-vies, il reste $1/2^n$ de la masse initiale.

Demi-vies de quelques isotopes

Formule de décroissance

$m(t) = m_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$

où $T$ est la demi-vie. Forme continue : $m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \ln(2)/T$.

Datation au carbone 14

Les organismes vivants contiennent du carbone 14 en proportion constante. À leur mort, le C14 décroît avec une demi-vie de 5 730 ans.

En mesurant la proportion restante, on date les vestiges archéologiques jusqu'à ≈ 50 000 ans.

Exemple

Un échantillon contient 25 % du C14 d'origine. Combien de demi-vies ? $0{,}25 = (1/2)^2$, donc 2 demi-vies = 11 460 ans.

Élimination d'un médicament

Un médicament est éliminé par l'organisme avec une demi-vie pharmacologique. La concentration sanguine décroît géométriquement.

Demi-vie du paracétamol ≈ 2-3 h. Après 12 h, il en reste ≈ $(1/2)^5 ≈ 3$ %.

Refroidissement (loi de Newton)

L'écart de température entre un objet et son environnement décroît exponentiellement. Un café chaud refroidit géométriquement vers la température ambiante.

Croissance virale et épidémies

Au début d'une épidémie, le nombre de cas croît exponentiellement : chaque malade en contamine en moyenne $R_0$ autres. Si $R_0 > 1$, croissance géométrique de raison $R_0$.

Les mesures sanitaires visent à faire passer $R_0$ sous 1, transformant la croissance en décroissance.

Effet de réseau et viralité

Un contenu « viral » se propage géométriquement : chaque partage en génère plusieurs. La phase de croissance est exponentielle, jusqu'à saturation du public.

Loi de Moore

Le nombre de transistors sur une puce double tous les ≈ 2 ans depuis les années 1970. Suite géométrique de raison 2 par bipériode. Croissance exponentielle de la puissance informatique.

Intérêt et dette

Croissance exponentielle aussi en finance : une dette non remboursée, un capital placé. Vu en détail dans l'article sur les intérêts composés.

Atténuation d'un signal

Un signal traversant un milieu absorbant perd une fraction fixe de son intensité par unité de distance : décroissance géométrique. C'est la loi de Beer-Lambert en optique.

Échelles logarithmiques

Pour visualiser une croissance exponentielle, on utilise une échelle logarithmique : une suite géométrique y apparaît comme une droite. Pratique pour les graphiques d'épidémies, de cours boursiers, etc.

Le piège de l'intuition linéaire

Notre cerveau pense linéairement. Face à une croissance exponentielle, on sous-estime systématiquement le futur. C'est la source de nombreuses erreurs de prévision (épidémies, dette, changement climatique).

Temps de multiplication / division

• Croissance : temps de doublement = $\ln(2)/\ln(q)$ périodes
• Décroissance : demi-vie = $\ln(2)/|\ln(q)|$ périodes

Conclusion

Croissance et décroissance exponentielles — bactéries, radioactivité, médicaments, épidémies — sont toutes modélisées par des suites géométriques. La notion de demi-vie en est l'expression la plus parlante. Notre Calculatrice de suite géométrique calcule ces évolutions.